Use diferenciais para encontrar um valor aproximado de:
Passo 1
O enunciado pede um valor aproximado de
.
Informações importantes dadas:
é muito próximo de
, pois
Não faço ainda a aproximação — só listei o que o problema fornece e o que precisamos calcular.
Passo 2
Vamos usar a ideia de diferenciais (aproximação linear). Aqui vai a fórmula básica e o sentido dela, explicada bem devagar. Seja uma função
diferenciável em um ponto
. A aproximação linear (ou diferencial) diz que, para
perto de
,
Nessa fórmula:
-
é o valor conhecido da função no ponto base; -
é a derivada (a inclinação) em ; -
é a pequena mudança em (que também chamamos de ou ); - o produto
é a estimativa da variação da função quando muda um pouco.
A razão de usar isso é que calcular exatamente
pode ser difícil, mas quando
está bem perto de
a reta tangente dá uma boa aproximação.
Passo 3
Defino a função que queremos aproximar:
Queremos
. Como
está muito próximo de
, escolho o ponto base
(escolha óbvia porque
tem raízes simples). Aplicando a aproximação linear,
Passo 4
Calculo a derivada
. Uso a regra do polinômio/potência: para
vale
. Por exemplo,
. Aplicando ao nosso caso, as duas parcelas dão:
Portanto
Passo 5
Avalio
no ponto
. Como
e
,
Passo 6
Avalio
. Primeiro faço as potências:
Agora substituo em
:
Como número decimal (com vírgula) isso é
Passo 7
Calculo a mudança em
:
A variação aproximada de
é
:
Logo a aproximação para
é
Passo 8
Comentário rápido sobre precisão (para acalmar a ansiedade): o erro da aproximação linear é da ordem de
multiplicado por algo envolvendo
. Aqui
é bem pequeno, então o erro é muito pequeno (ordem de
ou menor), portanto o valor acima está adequado para a maioria das provas.