Use diferenciais para encontrar um valor aproximado de:
(15,99)^{\frac{1}{4}}+(15,99)^{\frac{1}{2}}

Passo 1

O enunciado pede um valor aproximado de (15,99)^{\frac{1}{4}}+(15,99)^{\frac{1}{2}}.
Informações importantes dadas: (15,99) é muito próximo de 16, pois 15,99 = 16 - 0,01.
Não faço ainda a aproximação — só listei o que o problema fornece e o que precisamos calcular.

Passo 2

Vamos usar a ideia de diferenciais (aproximação linear). Aqui vai a fórmula básica e o sentido dela, explicada bem devagar. Seja uma função f(x) diferenciável em um ponto x_0. A aproximação linear (ou diferencial) diz que, para x perto de x_0,
f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0).
Nessa fórmula:
  • f(x_0) é o valor conhecido da função no ponto base;
  • f'(x_0) é a derivada (a inclinação) em x_0;
  • x-x_0 é a pequena mudança em x (que também chamamos de dx ou h);
  • o produto f'(x_0)(x-x_0) é a estimativa da variação da função quando x muda um pouco.
A razão de usar isso é que calcular exatamente f(x) pode ser difícil, mas quando x está bem perto de x_0 a reta tangente dá uma boa aproximação.

Passo 3

Defino a função que queremos aproximar:
g(x) = x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}}.
Queremos g(15,99). Como 15,99 está muito próximo de 16, escolho o ponto base x_0=16 (escolha óbvia porque 16 tem raízes simples). Aplicando a aproximação linear,
g(15,99) \approx g(16) + g'(16)\,(15,99-16).

Passo 4

Calculo a derivada g'(x). Uso a regra do polinômio/potência: para f(x)=x^n vale \dfrac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}. Por exemplo, \dfrac{d}{dx}x^3 = 3x^2. Aplicando ao nosso caso, as duas parcelas dão:
\frac{d}{dx}\big(x^{\frac{1}{4}}\big)=\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}},\qquad \frac{d}{dx}\big(x^{\frac{1}{2}}\big)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}.
Portanto
g'(x)=\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}}+\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}.

Passo 5

Avalio g no ponto x_0=16. Como 16^{\frac{1}{4}}=2 e 16^{\frac{1}{2}}=4,
g(16)=2+4=6.

Passo 6

Avalio g'(16). Primeiro faço as potências:
16^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{16^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{(16^{\frac{1}{4}})^3} = \frac{1}{2^3}=\frac{1}{8},
16^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{16^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{4}.
Agora substituo em g'(x):
g'(16)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{8}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{32}+\frac{1}{8}=\frac{5}{32}.
Como número decimal (com vírgula) isso é
g'(16)=\frac{5}{32}=0,15625.

Passo 7

Calculo a mudança em x:
h = 15,99-16 = -0,01.
A variação aproximada de g é g'(16)\cdot h:
\Delta g \approx \frac{5}{32}\cdot(-0,01) = -0,0015625.
Logo a aproximação para g(15,99) é
g(15,99) \approx g(16) + \Delta g = 6 - 0,0015625 = 5,9984375.

Passo 8

Comentário rápido sobre precisão (para acalmar a ansiedade): o erro da aproximação linear é da ordem de h^2 multiplicado por algo envolvendo g''. Aqui h=-0,01 é bem pequeno, então o erro é muito pequeno (ordem de 10^{-4} ou menor), portanto o valor acima está adequado para a maioria das provas.

Resposta

5,9984375

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