Use a regra da cadeia para determinar \frac{d w}{d t}, sabendo que w=x y+y z^{2}, x=e^{t}, y= e^{t} sent, z=e^{t} cost.

Passo 1

O enunciado pede \frac{dw}{dt} para
w(x,y,z)=x\,y+y\,z^2
sabendo que
x=x(t)=e^t,\quad y=y(t)=e^t\sin t,\quad z=z(t)=e^t\cos t.
O conteúdo aqui é derivada de função de várias variáveis composta com funções de t, ou seja, vamos usar derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Calcule as derivadas parciais de w:
w_x=\frac{\partial}{\partial x}(x\,y+y\,z^2)=y,
w_y=\frac{\partial}{\partial y}(x\,y+y\,z^2)=x+z^2,
w_z=\frac{\partial}{\partial z}(x\,y+y\,z^2)=2\,y\,z.

Passo 3

Agora derivamos x(t), y(t) e z(t) em relação a t:
x'(t)=\frac{d}{dt}e^t=e^t,
y'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(e^t\sin t\bigr) =e^t\sin t+e^t\cos t =e^t(\sin t+\cos t),
z'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(e^t\cos t\bigr) =e^t\cos t - e^t\sin t =e^t(\cos t-\sin t).

Passo 4

Aplique a regra da cadeia em várias variáveis:
\frac{dw}{dt} =w_x\,x'+w_y\,y'+w_z\,z'.

Passo 5

Substituindo w_x, w_y, w_z, e as derivadas de x,y,z:
\frac{dw}{dt} =y\cdot e^t \;+\;(x+z^2)\cdot e^t(\sin t+\cos t)\;+\;2\,y\,z\cdot e^t(\cos t-\sin t).
E, por fim, plugando x=e^t, y=e^t\sin t, z=e^t\cos t:
\frac{dw}{dt} =e^{2t}\sin t \;+\;\bigl(e^t+e^{2t}\cos^2 t\bigr)\,e^t(\sin t+\cos t) \;+\;2\,e^{3t}\sin t\cos t\,(\cos t-\sin t).

Resposta

\frac{dw}{dt} =e^{2t}\sin t +\bigl(e^t+e^{2t}\cos^2 t\bigr)e^t(\sin t+\cos t) +2e^{3t}\sin t\cos t\,(\cos t-\sin t).

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