Dada a função f(x, y, z)=x \ln \left(x y^{2} z^{3}\right). Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem da função.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=x\ln\bigl(x\,y^{2}\,z^{3}\bigr)
e pede todas as derivadas parciais de segunda ordem. O conteúdo utilizado será: 1) expansão de logaritmo para simplificar a função e 2) regras de derivação (produto, cadeia e derivada de \ln).

Passo 2

Usamos a propriedade \ln(ABC)=\ln A+\ln B+\ln C para escrever
f(x,y,z)=x\bigl[\ln x+\ln(y^{2})+\ln(z^{3})\bigr] =x\ln x+2x\ln y+3x\ln z.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
– Para \partial f/\partial x aplicamos produto e \frac{d}{dx}\ln x=1/x:
f_{x} =\frac{\partial}{\partial x}(x\ln x)+\frac{\partial}{\partial x}(2x\ln y)+\frac{\partial}{\partial x}(3x\ln z) =(\ln x+1)+2\ln y+3\ln z.
– Para \partial f/\partial y, só o termo 2x\ln y depende de y, e \frac{d}{dy}\ln y=1/y:
f_{y}=\frac{2x}{y}.
– Para \partial f/\partial z, só 3x\ln z depende de z, e \frac{d}{dz}\ln z=1/z:
f_{z}=\frac{3x}{z}.

Passo 4

Derivamos f_{x}, f_{y} e f_{z} em relação a x para obter as segundas envolvendo x:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(\ln x+1+2\ln y+3\ln z) =\frac{1}{x}.
f_{xy}=f_{yx} =\frac{\partial}{\partial y}(\ln x+1+2\ln y+3\ln z) =\frac{2}{y}.
f_{xz}=f_{zx} =\frac{\partial}{\partial z}(\ln x+1+2\ln y+3\ln z) =\frac{3}{z}.

Passo 5

Derivamos f_{y} e f_{z} em relação a y e z para obter as segundas restantes:
f_{yy} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{2x}{y}\Bigr) =-\,\frac{2x}{y^{2}}.
f_{yz}=f_{zy} =\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(\frac{2x}{y}\Bigr) =0.
f_{zz} =\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(\frac{3x}{z}\Bigr) =-\,\frac{3x}{z^{2}}.

Resposta

f_{xx}=\frac{1}{x}
f_{xy}=f_{yx}=\frac{2}{y}
f_{xz}=f_{zx}=\frac{3}{z}
f_{yy}=-\frac{2x}{y^{2}}
f_{yz}=f_{zy}=0
f_{zz}=-\frac{3x}{z^{2}}

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