Use diferenciais para realizar o cálculo aproximado de:
g(2.04,0.05,-0.1), se g(x, y, z)=\left(e^{x y}, x e^{z}, \tan (2 y)\right).

Passo 1

O enunciado fornece a função vetorial
g(x,y,z)=\bigl(e^{xy},\; x e^{z},\; \tan(2y)\bigr)
e pede a aproximação de g(2,04,0,05,-0,1) usando diferenciais (linearização). Os dados importantes são:
  • O ponto onde queremos a aproximação é (x,y,z)=(2,04,0,05,-0,1).
  • A função tem três componentes: primeira e^{xy}, segunda x e^{z} e terceira \tan(2y).
  • Devemos usar aproximação linear (diferenciais) para obter um valor aproximado.

Passo 2

Vou explicar o que significa usar diferenciais (linearização) para funções vetoriais de várias variáveis.
Para uma função vetorial \;g:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\; diferenciável num ponto \mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z), a aproximação linear em torno de \mathbf{a} diz que, para um pequeno incremento \Delta\mathbf{x}=(\Delta x,\Delta y,\Delta z),
g(\mathbf{a}+\Delta\mathbf{x})\approx g(\mathbf{a})+Dg(\mathbf{a})\;\Delta\mathbf{x}.
Aqui:
  • g(\mathbf{a}) é o valor exato em \mathbf{a}.
  • Dg(\mathbf{a}) é a matriz jacobiana de g avaliada em \mathbf{a}. Cada entrada dessa matriz é uma derivada parcial: a linha i, coluna j é \dfrac{\partial g_i}{\partial x_j}(\mathbf{a}).
  • O produto Dg(\mathbf{a})\Delta\mathbf{x} é uma combinação linear dos incrementos que dá a variação aproximada de g.
Explicando de forma bem prática: para aproximar g num ponto próximo a \mathbf{a} basta calcular g(\mathbf{a}), as derivadas parciais de cada componente em \mathbf{a}, multiplicar essas derivadas pelos pequenos incrementos \Delta x,\Delta y,\Delta z e somar.

Passo 3

Escolho um ponto de referência \mathbf{a} próximo de (2,04,0,05,-0,1) e simples para calcular exatamente. O ponto natural e conveniente é
\mathbf{a}=(2,0,0),
pois 2 é próximo de 2,04, 0 é próximo de 0,05 e 0 é próximo de -0,1; além disso as funções ficam fáceis de avaliar em y=0 e z=0.
Defino os incrementos
\Delta x = 2,04-2 = 0,04,\qquad \Delta y = 0,05-0 = 0,05,\qquad \Delta z = -0,1-0 = -0,1.

Passo 4

Calculo as derivadas parciais simbólicas das três componentes de g.
Denotando as componentes por
g_1(x,y,z)=e^{xy},\qquad g_2(x,y,z)=x e^{z},\qquad g_3(x,y,z)=\tan(2y),
temos as derivadas parciais:
Para g_1=e^{xy}:
\frac{\partial g_1}{\partial x}=y e^{xy},\qquad \frac{\partial g_1}{\partial y}=x e^{xy},\qquad \frac{\partial g_1}{\partial z}=0.
Para g_2=x e^{z}:
\frac{\partial g_2}{\partial x}=e^{z},\qquad \frac{\partial g_2}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial g_2}{\partial z}=x e^{z}.
Para g_3=\tan(2y):
\frac{\partial g_3}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial g_3}{\partial y}=2\operatorname{sec}^2(2y),\qquad \frac{\partial g_3}{\partial z}=0.
Aqui explicando cada termo:
  • \dfrac{\partial g_1}{\partial x}=y e^{xy} significa: se só x varia, a taxa de variação instantânea de g_1 é y e^{xy}.
  • \operatorname{sec}^2(2y) é (\cos(2y))^{-2}; em y=0 isso vale 1.

Passo 5

Avalio g(\mathbf{a}) e as derivadas parciais em \mathbf{a}=(2,0,0).
Valores de g em \mathbf{a}:
g_1(2,0,0)=e^{2\cdot0}=e^{0}=1, \qquad g_2(2,0,0)=2\cdot e^{0}=2, \qquad g_3(2,0,0)=\tan(0)=0.
Derivadas parciais em \mathbf{a}:
Para g_1 em (2,0,0):
\frac{\partial g_1}{\partial x}(2,0,0)=y e^{xy}\Big|_{(2,0,0)}=0\cdot 1=0, \qquad \frac{\partial g_1}{\partial y}(2,0,0)=x e^{xy}\Big|_{(2,0,0)}=2\cdot 1=2, \qquad \frac{\partial g_1}{\partial z}(2,0,0)=0.
Para g_2 em (2,0,0):
\frac{\partial g_2}{\partial x}(2,0,0)=e^{z}\Big|_{z=0}=1, \qquad \frac{\partial g_2}{\partial y}(2,0,0)=0, \qquad \frac{\partial g_2}{\partial z}(2,0,0)=x e^{z}\Big|_{x=2,z=0}=2.
Para g_3 em (2,0,0) (note que só depende de y):
\frac{\partial g_3}{\partial x}(2,0,0)=0, \qquad \frac{\partial g_3}{\partial y}(2,0,0)=2\operatorname{sec}^2(2y)\Big|_{y=0}=2\cdot 1=2, \qquad \frac{\partial g_3}{\partial z}(2,0,0)=0.
Assim a matriz jacobiana Dg(2,0,0) vale numericamente
Dg(2,0,0)= \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 2 & 0 \end{pmatrix},
onde as colunas correspondem a derivadas em relação a x,y,z respectivamente e as linhas às componentes g_1,g_2,g_3.]

Passo 6

Agora aplico a aproximação linear:
g(\mathbf{a}+\Delta\mathbf{x})\approx g(\mathbf{a})+Dg(\mathbf{a})\,\Delta\mathbf{x}.
Substituindo os valores numéricos:
g(2,04,0,05,-0,1)\approx \begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0,04\\[2pt]0,05\\[2pt]-0,1\end{pmatrix}.
Faço o produto Dg(\mathbf{a})\Delta\mathbf{x} componente a componente:
Primeira componente:
\Delta g_1 \approx 0\cdot 0,04 + 2\cdot 0,05 + 0\cdot(-0,1)=2\cdot 0,05=0,10.
Logo g_1\approx 1+0,10=1,10.
Segunda componente:
\Delta g_2 \approx 1\cdot 0,04 + 0\cdot 0,05 + 2\cdot(-0,1)=0,04 -0,20=-0,16.
Logo g_2\approx 2-0,16=1,84.
Terceira componente:
\Delta g_3 \approx 0\cdot 0,04 + 2\cdot 0,05 + 0\cdot(-0,1)=2\cdot 0,05=0,10.
Logo g_3\approx 0+0,10=0,10.]

Passo 7

Interpretação final: usando diferenciais (aproximação linear) em torno de (2,0,0) obtivemos a aproximação
g(2,04,0,05,-0,1)\approx \begin{pmatrix}1,10\\[2pt]1,84\\[2pt]0,10\end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix}1,10\\[2pt]1,84\\[2pt]0,10\end{pmatrix}]

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