Use diferenciais para realizar o cálculo aproximado de: g(2.04,0.05,-0.1), se g(x, y, z)=\left(e^{x y}, x e^{z}, \tan (2 y)\right).
Passo 1
O enunciado fornece a função vetorial
g(x,y,z)=\bigl(e^{xy},\; x e^{z},\; \tan(2y)\bigr)
e pede a aproximação de g(2,04,0,05,-0,1) usando diferenciais (linearização). Os dados importantes são:
O ponto onde queremos a aproximação é (x,y,z)=(2,04,0,05,-0,1).
A função tem três componentes: primeira e^{xy}, segunda x e^{z} e terceira \tan(2y).
Devemos usar aproximação linear (diferenciais) para obter um valor aproximado.
Passo 2
Vou explicar o que significa usar diferenciais (linearização) para funções vetoriais de várias variáveis.
Para uma função vetorial \;g:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\; diferenciável num ponto \mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z), a aproximação linear em torno de \mathbf{a} diz que, para um pequeno incremento \Delta\mathbf{x}=(\Delta x,\Delta y,\Delta z),
Dg(\mathbf{a}) é a matriz jacobiana de g avaliada em \mathbf{a}. Cada entrada dessa matriz é uma derivada parcial: a linha i, coluna j é \dfrac{\partial g_i}{\partial x_j}(\mathbf{a}).
O produto Dg(\mathbf{a})\Delta\mathbf{x} é uma combinação linear dos incrementos que dá a variação aproximada de g.
Explicando de forma bem prática: para aproximar g num ponto próximo a \mathbf{a} basta calcular g(\mathbf{a}), as derivadas parciais de cada componente em \mathbf{a}, multiplicar essas derivadas pelos pequenos incrementos \Delta x,\Delta y,\Delta z e somar.
Passo 3
Escolho um ponto de referência \mathbf{a} próximo de (2,04,0,05,-0,1) e simples para calcular exatamente. O ponto natural e conveniente é
\mathbf{a}=(2,0,0),
pois 2 é próximo de 2,04, 0 é próximo de 0,05 e 0 é próximo de -0,1; além disso as funções ficam fáceis de avaliar em y=0 e z=0.
Defino os incrementos
\Delta x = 2,04-2 = 0,04,\qquad \Delta y = 0,05-0 = 0,05,\qquad \Delta z = -0,1-0 = -0,1.
Passo 4
Calculo as derivadas parciais simbólicas das três componentes de g.