Use diferenciais para realizar o cálculo aproximado de:
f(3.92,0.13), se f(x, y)=\left(\sqrt{x+y}, 2 x^{2} \cos y\right).

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos.
  • Pede: usar diferenciais (linearização) para obter uma aproximação de f(3,92,0,13).
  • Nos foi dada a função vetorial
f(x,y)=\bigl(\sqrt{x+y},\;2x^{2}\cos y\bigr).
  • Ponto onde queremos a aproximação: (x,y)=(3,92,0,13).

Passo 2

Ideia do método (em palavras simples).
  • Quando uma função vetorial f é diferenciável num ponto (a,b), a aproximação linear (diferencial) diz que, para (x,y) perto de (a,b),
f(x,y)\approx f(a,b)+Df(a,b)\begin{pmatrix}x-a\\[4pt]y-b\end{pmatrix},
onde Df(a,b) é a matriz jacobiana (matriz das derivadas parciais) em (a,b).
  • Em componentes, se f=(f_{1},f_{2}), então as pequenas variações \mathrm{d}f_{1} e \mathrm{d}f_{2} valem
\mathrm{d}f_{1}=f_{1x}(a,b)\,\mathrm{d}x+f_{1y}(a,b)\,\mathrm{d}y, \qquad \mathrm{d}f_{2}=f_{2x}(a,b)\,\mathrm{d}x+f_{2y}(a,b)\,\mathrm{d}y,
com \mathrm{d}x=x-a e \mathrm{d}y=y-b. Então f(x,y)\approx f(a,b)+(\mathrm{d}f_{1},\mathrm{d}f_{2}).]

Passo 3

Escolha do ponto (a,b) para linearizar e porquê.
  • É conveniente escolher um ponto próximo de (3,92,0,13) em que as contas fiquem simples.
  • Observação prática: 3,92 está perto de 4. O valor de y já é 0,13, então escolher b=0,13 faz \mathrm{d}y=0 — isso simplifica bastante.
  • Logo, escolhemos (a,b)=(4,0,13). Assim \mathrm{d}x=3,92-4=-0,08 e \mathrm{d}y=0.

Passo 4

Calcular \mathrm{d}x e \mathrm{d}y.
\mathrm{d}x=3,92-4=-0,08,\qquad \mathrm{d}y=0.

Passo 5

Calcular as derivadas parciais simbólicas de cada componente.
  • Para f_{1}(x,y)=\sqrt{x+y}=(x+y)^{1/2},
f_{1x}(x,y)=\frac{1}{2\sqrt{x+y}},\qquad f_{1y}(x,y)=\frac{1}{2\sqrt{x+y}}.
  • Para f_{2}(x,y)=2x^{2}\cos y,
f_{2x}(x,y)=4x\cos y,\qquad f_{2y}(x,y)=-2x^{2}\sin y.
Aqui explique rapidinho: por regra da cadeia, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x+y)^{1/2}=\tfrac12(x+y)^{-1/2} e a derivada de \cos y em relação a x é zero (quando derivamos por x).

Passo 6

Avaliar as derivadas parciais no ponto (4,0,13).
Primeiro precisamos de \sqrt{4+0,13}=\sqrt{4,13}. Podemos aproximar usando a expansão linear de \sqrt{\cdot} em torno de 4:
\sqrt{4,13}\approx 2+\frac{0,13}{2\cdot2}=2+0,0325=2,0325.
(Isto é suficiente para a precisão da aproximação linear que faremos.)
Agora avaliaremos as derivadas:
f_{1x}(4,0,13)=\frac{1}{2\sqrt{4,13}}\approx\frac{1}{2\cdot 2,0325}=\frac{1}{4,065}\approx 0,2460.
f_{1y}(4,0,13)=f_{1x}(4,0,13)\approx 0,2460.
Para f_{2} precisamos de \cos(0,13). Aproximação por série: \cos t\approx 1-\tfrac{t^{2}}{2} para t pequeno. Assim
\cos(0,13)\approx 1-\frac{(0,13)^{2}}{2}=1-\frac{0,0169}{2}=1-0,00845=0,99155.
Agora
f_{2x}(4,0,13)=4\cdot 4\cdot\cos(0,13)=16\cos(0,13)\approx 16\cdot 0,99155\approx 15,8648.
f_{2y}(4,0,13)=-2\cdot 4^{2}\sin(0,13)=-32\sin(0,13).
Como \mathrm{d}y=0 vamos acabar não usando f_{2y} na correção; portanto não é preciso calcular \sin(0,13) aqui (mas poderia ser aproximado por 0,13 se fosse necessário).

Passo 7

Calcular f(4,0,13) (valor base).
  • Primeira componente:
f_{1}(4,0,13)=\sqrt{4,13}\approx 2,0325.
  • Segunda componente:
f_{2}(4,0,13)=2\cdot 4^{2}\cos(0,13)=32\cos(0,13)\approx 32\cdot 0,99155\approx 31,7296.

Passo 8

Calcular as diferenciais (as pequenas correções) usando \mathrm{d}x=-0,08 e \mathrm{d}y=0.
  • Para a primeira componente:
\mathrm{d}f_{1}=f_{1x}(4,0,13)\,\mathrm{d}x+f_{1y}(4,0,13)\,\mathrm{d}y \approx 0,2460\cdot(-0,08)+0,2460\cdot 0=-0,01968.
  • Para a segunda componente:
\mathrm{d}f_{2}=f_{2x}(4,0,13)\,\mathrm{d}x+f_{2y}(4,0,13)\,\mathrm{d}y \approx 15,8648\cdot(-0,08)+(\text{qualquer})\cdot 0=-1,2692.

Passo 9

Somar as correções ao valor base para obter a aproximação final.
f_{1}(3,92,0,13)\approx 2,0325+(-0,01968)=2,01282\approx 2,0128,
f_{2}(3,92,0,13)\approx 31,7296+(-1,2692)=30,4604.
Arredondei aqui para quatro casas decimais na primeira componente e quatro na segunda, que é um nível de precisão coerente com as aproximações usadas ( \sqrt{4,13} e \cos(0,13) aproximados).

Resposta

\displaystyle f(3,92,0,13)\approx\bigl(2,0128,\;30,4604\bigr)

Exercícios relacionados