Use diferenciais para realizar o cálculo aproximado de:
, se
.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos.
- Pede: usar diferenciais (linearização) para obter uma aproximação de
. - Nos foi dada a função vetorial
- Ponto onde queremos a aproximação:
.
Passo 2
Ideia do método (em palavras simples).
- Quando uma função vetorial
é diferenciável num ponto , a aproximação linear (diferencial) diz que, para perto de ,
onde
é a matriz jacobiana (matriz das derivadas parciais) em
.
- Em componentes, se
, então as pequenas variações e valem
com
e
. Então
.]
Passo 3
Escolha do ponto
para linearizar e porquê.
- É conveniente escolher um ponto próximo de
em que as contas fiquem simples. - Observação prática:
está perto de . O valor de já é , então escolher faz — isso simplifica bastante. - Logo, escolhemos
. Assim e .
Passo 4
Calcular
e
.
Passo 5
Calcular as derivadas parciais simbólicas de cada componente.
- Para
,
- Para
,
Aqui explique rapidinho: por regra da cadeia,
e a derivada de
em relação a
é zero (quando derivamos por
).
Passo 6
Avaliar as derivadas parciais no ponto
.
Primeiro precisamos de
. Podemos aproximar usando a expansão linear de
em torno de
:
(Isto é suficiente para a precisão da aproximação linear que faremos.)
Agora avaliaremos as derivadas:
Para
precisamos de
. Aproximação por série:
para
pequeno. Assim
Agora
Como
vamos acabar não usando
na correção; portanto não é preciso calcular
aqui (mas poderia ser aproximado por
se fosse necessário).
Passo 7
Calcular
(valor base).
- Primeira componente:
- Segunda componente:
Passo 8
Calcular as diferenciais (as pequenas correções) usando
e
.
- Para a primeira componente:
- Para a segunda componente:
Passo 9
Somar as correções ao valor base para obter a aproximação final.
Arredondei aqui para quatro casas decimais na primeira componente e quatro na segunda, que é um nível de precisão coerente com as aproximações usadas (
e
aproximados).