Use a diferencial total para encontrar aproximadamente o erro máximo no cálculo da área do triângulo retângulo a partir dos comprimentos dos catetos que medem 6 e 8 cm , respectivamente, com um erro possível de 0,1 cm para cada medida. Ache também o erro percentual aproximado.

Passo 1

O enunciado pede para usar a diferencial total para aproximar o erro máximo na área de um triângulo retângulo cujos catetos medem 6 cm e 8 cm, cada um com erro até 0,1 cm. O conteúdo envolvido é diferencial total e propagação de erros; precisaremos da função área e de suas derivadas parciais.

Passo 2

Escrevemos a função área em função dos catetos x e y. Em seguida calculamos as derivadas parciais e a diferencial total.
A função área e sua diferencial são:
A(x,y)=12,x,y
dA=partial Apartial x,dx+partial Apartial y,dy=12y,dx+12x,dy

Passo 3

Para estimar o erro máximo, tomamos |dx|=|dy|=0,1 cm e x=6, y=8, e substituímos na expressão de dA:
|dA|approx12(8cdot0,1+6cdot0,1)=12(0,8+0,6)=0,7 cm^2

Passo 4

O erro percentual aproximado é dado por |dA|/A·100%. Primeiro calculamos a área nominal:
A(6,8)=12cdot6cdot8=24 cm^2
Depois:
0,724approx0,0292approx2,92%

Resposta

Erro máximo aproximado: 0,7 cm²; erro percentual aproximado: 2,92%.

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