Use as diretrizes do esboço de curvas (Domínio, Interseções, Simetria, Assíntotas, Extremos, Concavidade) para esboçar o gráfico completo de:
y=x e^{-x^{2} / 2}

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce o gráfico completo da função
y = x e^{-x^{2}/2}
seguindo os critérios: Domínio, Interseções, Simetria, Assíntotas, Extremos e Concavidade.
Informações dadas (explicitamente): a expressão analítica da função \,y(x)=x e^{-x^{2}/2}\,.
Perguntas que preciso responder para montar o esboço:
  • Qual é o domínio da função?
  • Quais são as interseções com os eixos (zeros e intercepto em y)?
  • A função tem simetria (par, ímpar, nenhuma)?
  • Existem assíntotas (horizontais, verticais, inclinadas)?
  • Onde a função é crescente/decrescente e quais os pontos críticos (extremos locais)?
  • Onde a função é côncava para cima/baixo e quais os pontos de inflexão?
    Depois de obter essas informações, vou descrever como traçar o gráfico passo a passo.

Passo 2

Domínio e interceptos (o que são e como achar).
  • Domínio: e^{-x^{2}/2} está definido para todo x\in\mathbb{R} e multiplicar por x não cria restrição. Logo o domínio é
\text{Domínio} = \mathbb{R}.í
  • Interseções com os eixos: resolver y=0 para achar as raízes. Como e^{-x^{2}/2}>0 para todo x, tem-se
x e^{-x^{2}/2}=0 \iff x=0.
Portanto a única interseção com o eixo x (e também com o eixo y) é o ponto
(0,0).
Dica didática curta: para achar zeros de um produto, zere cada fator; aqui o exponencial nunca zera, então a raiz vem de x.

Passo 3

Simetria (como testar e interpretar).
Para testar se a função é par, ímpar ou nenhuma, calculo \,y(-x)\,:
y(-x) = (-x) e^{-(-x)^{2}/2} = -x e^{-x^{2}/2} = -\,y(x).
Isso mostra que a função é ímpar. Consequência prática para o esboço: o gráfico é simétrico em relação à origem — o ramo à direita decide o ramo à esquerda por reflexão central.
Explicação rápida: função ímpar significa que girando o gráfico 180° em torno da origem obtemos o mesmo gráfico.

Passo 4

Assíntotas horizontais/verticais (o que são e como achar).
  • Verticais: acontecem quando a função diverge para infinito por causa do denominador ou log, etc. Aqui não há denominador nem ponto de descontinuidade, então não há assíntotas verticais.
  • Horizontais: calcular limites em \pm\infty. Preciso de
\lim_{x\to\infty} x e^{-x^{2}/2},\qquad \lim_{x\to-\infty} x e^{-x^{2}/2}.
Justificativa prática: o fator e^{-x^{2}/2} decai mais rápido que qualquer potência de x, portanto o produto tende a 0. Formalmente, com a substituição t=x^{2}/2 (para x\to\infty temos t\to\infty) nota-se que \sqrt{t}\,e^{-t}\to0. Assim
\lim_{x\to\pm\infty} x e^{-x^{2}/2} = 0.
Conclusão: existe a assíntota horizontal
y=0.
Observação: como a função é ímpar, ela se aproxima de 0 por cima à direita e por baixo à esquerda de forma simétrica (ver sinais depois).

Passo 5

Derivada primeira e monotonicidade (passo a passo com regra do produto).
Objetivo: achar y'(x), pontos críticos e intervalo(s) de crescimento/decrescimento.
Primeiro, aplico a regra do produto. Se y(x)=u(x)v(x), então y'=u'v+uv'. Aqui u(x)=x e v(x)=e^{-x^{2}/2}.
  • u'(x)=1.
  • Para v'(x), uso que \dfrac{d}{dx} e^{g(x)} = g'(x)e^{g(x)}. Com g(x)=-x^{2}/2, tem g'(x)=-x. Então
v'(x) = -x e^{-x^{2}/2}.
Agora a derivada:
y'(x) = 1\cdot e^{-x^{2}/2} + x\cdot\bigl(-x e^{-x^{2}/2}\bigr) = e^{-x^{2}/2}\bigl(1 - x^{2}\bigr).
Importante: e^{-x^{2}/2}>0 sempre, então o sinal de y' é dado por 1-x^{2}.
Encontrar pontos críticos: resolver y'(x)=0:
e^{-x^{2}/2}\bigl(1-x^{2}\bigr)=0 \iff 1-x^{2}=0 \iff x=\pm 1.
Não há pontos onde y' é indefinida.
Análise de sinal de 1-x^{2}:
  • Para |x|<1: 1-x^{2}>0 \Rightarrow y'>0 (função crescente).
  • Para |x|>1: 1-x^{2}<0 \Rightarrow y'<0 (função decrescente).
Portanto:
  • A função é crescente em \,(-1,1).
  • A função é decrescente em (-\infty,-1) e em (1,\infty).
Classificação dos extremos (teste do valor de y e segundo derivada depois):
  • Em x=1: há mudança de crescente para decrescente → máximo local.
  • Em x=-1: há mudança de decrescente para crescente → mínimo local.
Valores nas extremidades:
y(1)=1\cdot e^{-1/2}=e^{-1/2}\approx 0,6065, \qquad y(-1)=-1\cdot e^{-1/2}=-e^{-1/2}\approx -0,6065.
Breve nota didática: lembrar que \,e^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt{e}}.

Passo 6

Derivada segunda e concavidade (como usar e interpretar).
Vou calcular y''(x) derivando y'(x)=e^{-x^{2}/2}(1-x^{2}) usando novamente a regra do produto.
Seja A(x)=e^{-x^{2}/2} e B(x)=1-x^{2}.
  • A'(x) = -x e^{-x^{2}/2} (como antes).
  • B'(x) = -2x.
Aplicando a regra do produto:
y''(x) = A'(x)B(x) + A(x)B'(x) = \bigl(-x e^{-x^{2}/2}\bigr)(1-x^{2}) + e^{-x^{2}/2}(-2x).
Coloco e^{-x^{2}/2} em evidência:
y''(x) = e^{-x^{2}/2}\bigl[ -x(1-x^{2}) - 2x \bigr] = e^{-x^{2}/2}\bigl( -x + x^{3} - 2x \bigr) = e^{-x^{2}/2}\bigl( x^{3} - 3x \bigr).
Fatorando:
y''(x) = e^{-x^{2}/2}\,x\,(x^{2}-3).
Como e^{-x^{2}/2}>0, zeros de y'' vêm de x=0 e x=\pm\sqrt{3}.
Esses são candidatos a pontos de inflexão; preciso verificar mudança de sinal de y'' para confirmar inflexões. Faço um estudo rápido do sinal de x(x^{2}-3):
  • Para x<-\sqrt{3}: x<0 e x^{2}-3>0 → produto negativo → y''<0 (côncavo para baixo).
  • Para -\sqrt{3}<x<0: x<0 e x^{2}-3<0 → produto positivo → y''>0 (côncavo para cima).
  • Para 0<x<\sqrt{3}: x>0 e x^{2}-3<0 → produto negativo → y''<0 (côncavo para baixo).
  • Para x>\sqrt{3}: x>0 e x^{2}-3>0 → produto positivo → y''>0 (côncavo para cima).
Conclusões de concavidade:
  • Côncavo para baixo em (-\infty,-\sqrt{3}) e em (0,\sqrt{3}).
  • Côncavo para cima em (-\sqrt{3},0) e em (\sqrt{3},\infty).
Pontos de inflexão (onde a concavidade muda) são confirmados em
x=-\sqrt{3},\quad x=0,\quad x=\sqrt{3}.
Coordenadas dos pontos de inflexão:
y(0)=0, \qquad y(\pm\sqrt{3}) = \pm\sqrt{3}\,e^{-3/2}\approx \pm 1{,}732\cdot 0{,}22313 \approx \pm 0{,}386.

Passo 7

Verificações extras e aproximação local (usado para desenhar bem perto do zero).
  • Declive no ponto originário: y'(0)=e^{0}(1-0)=1. Então a reta tangente em (0,0) tem coeficiente angular 1; isso ajuda a desenhar o cruzamento pelo eixo com inclinação de 45^\circ (linha y=x) em pequena vizinhança.
  • Série de Taylor de baixo grau para entender a forma perto de 0. Expando e^{-x^{2}/2}\approx 1 - \tfrac{x^{2}}{2} + \cdots, então
y(x) = x\Bigl(1 - \tfrac{x^{2}}{2} + \cdots\Bigr) = x - \tfrac{x^{3}}{2} + \cdots.
Isso mostra que, perto de 0, a função é aproximadamente y\approx x - \tfrac{x^{3}}{2}: passa pela origem com inclinação 1 e tem o termo cúbico negativo que curva para baixo logo em seguida no primeiro quadrante (coerente com o fato de ter inflexão em 0).
Resumo do comportamento global para desenhar:
  • Começando em x\to -\infty: y\to 0^{-} (se aproxima de zero por baixo), côncavidade para baixo até -\sqrt{3}, depois muda para cima, decresce até mínimo em -1, passa pela origem com inclinação positiva, atinge máximo em 1, decresce novamente e finalmente se aproxima de 0^{+} por cima em +\infty.
  • Valores importantes para marcar no esboço: (-1,-e^{-1/2}), (0,0), (1,e^{-1/2}), (\pm\sqrt{3},\pm\sqrt{3}\,e^{-3/2}), e a assíntota horizontal y=0.

Passo 8

Instruções práticas para desenhar (passo a passo no papel)
  1. Trace e rotule os eixos x e y. Marque a origem.
  2. Marque o ponto (0,0). Marque os pontos (1,e^{-1/2}) e (-1,-e^{-1/2}) aproximadamente em y\approx\pm 0{,}6065.
  3. Marque os pontos de inflexão (\pm\sqrt{3},\pm 0{,}386).
  4. Desenhe a assíntota horizontal y=0 como guia: o gráfico se aproxima dela quando |x| cresce.
  5. Use monotonicidade: do lado direito, aumente de 0 até x=1 (cresce), depois decresce para 0 conforme x\to\infty. Pelo fato de ser ímpar, espelhe para o lado esquerdo com sinal invertido.
  6. Ajuste a curvatura conforme os intervalos de concavidade listados: por exemplo entre 0 e \sqrt{3} é côncavo para baixo, depois muda para cima para x>\sqrt{3}.
  7. Garanta suavidade: função é infinitely differentiable, sem quinas.
Pequena motivação final: apesar do termo x sugerir crescimento, o fator gaussiano e^{-x^{2}/2} domina e faz a função tender para zero nas extremidades, dando um formato tipo “senoide atenuada” com um máximo positivo e mínimo negativo simétricos.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Interseções: única em (0,0) (zero e intercepto em y)
Simetria: função ímpar, simétrica em relação à origem ( y(-x)=-y(x))
Assíntotas: horizontal y=0 para x\to\pm\infty; não há assíntotas verticais
Pontos críticos e extremos: x=-1 mínimo local com y(-1)=-e^{-1/2}\approx-0{,}6065; x=1 máximo local com y(1)=e^{-1/2}\approx0{,}6065
Monotonicidade: crescente em (-1,1); decrescente em (-\infty,-1) e em (1,\infty)
Concavidade e pontos de inflexão: côncavo para baixo em (-\infty,-\sqrt{3}) e (0,\sqrt{3}); côncavo para cima em (-\sqrt{3},0) e (\sqrt{3},\infty); pontos de inflexão em x=-\sqrt{3},\,0,\,\sqrt{3} com coordenadas \bigl(\pm\sqrt{3},\pm\sqrt{3}\,e^{-3/2}\bigr) e (0,0)
Comportamento assintótico: \lim_{x\to\pm\infty} x e^{-x^{2}/2}=0 (aproximação à assíntota y=0).

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