Use as diretrizes do esboço de curvas (Domínio, Interseções, Simetria, Assíntotas, Extremos, Concavidade) para esboçar o gráfico completo de:
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce o gráfico completo da função
seguindo os critérios: Domínio, Interseções, Simetria, Assíntotas, Extremos e Concavidade.
Informações dadas (explicitamente): a expressão analítica da função .
Perguntas que preciso responder para montar o esboço:
Informações dadas (explicitamente): a expressão analítica da função
Perguntas que preciso responder para montar o esboço:
- Qual é o domínio da função?
- Quais são as interseções com os eixos (zeros e intercepto em
)? - A função tem simetria (par, ímpar, nenhuma)?
- Existem assíntotas (horizontais, verticais, inclinadas)?
- Onde a função é crescente/decrescente e quais os pontos críticos (extremos locais)?
- Onde a função é côncava para cima/baixo e quais os pontos de inflexão?
Depois de obter essas informações, vou descrever como traçar o gráfico passo a passo.
Passo 2
Domínio e interceptos (o que são e como achar).
- Domínio:
está definido para todo e multiplicar por não cria restrição. Logo o domínio é
- Interseções com os eixos: resolver
para achar as raízes. Como para todo , tem-se
Portanto a única interseção com o eixo
(e também com o eixo
) é o ponto
Dica didática curta: para achar zeros de um produto, zere cada fator; aqui o exponencial nunca zera, então a raiz vem de
.
Passo 3
Simetria (como testar e interpretar).
Para testar se a função é par, ímpar ou nenhuma, calculo :
Para testar se a função é par, ímpar ou nenhuma, calculo
Isso mostra que a função é ímpar. Consequência prática para o esboço: o gráfico é simétrico em relação à origem — o ramo à direita decide o ramo à esquerda por reflexão central.
Explicação rápida: função ímpar significa que girando o gráfico 180° em torno da origem obtemos o mesmo gráfico.
Passo 4
Assíntotas horizontais/verticais (o que são e como achar).
- Verticais: acontecem quando a função diverge para infinito por causa do denominador ou log, etc. Aqui não há denominador nem ponto de descontinuidade, então não há assíntotas verticais.
- Horizontais: calcular limites em
. Preciso de
Justificativa prática: o fator
decai mais rápido que qualquer potência de
, portanto o produto tende a
. Formalmente, com a substituição
(para
temos
) nota-se que
. Assim
Conclusão: existe a assíntota horizontal
Observação: como a função é ímpar, ela se aproxima de
por cima à direita e por baixo à esquerda de forma simétrica (ver sinais depois).
Passo 5
Derivada primeira e monotonicidade (passo a passo com regra do produto).
Objetivo: achar , pontos críticos e intervalo(s) de crescimento/decrescimento.
Objetivo: achar
Primeiro, aplico a regra do produto. Se
, então
. Aqui
e
.
-
. - Para
, uso que . Com , tem . Então
Agora a derivada:
Importante:
sempre, então o sinal de
é dado por
.
Encontrar pontos críticos: resolver
:
Não há pontos onde
é indefinida.
Análise de sinal de
:
- Para
: (função crescente). - Para
: (função decrescente).
Portanto:
- A função é crescente em
. - A função é decrescente em
e em .
Classificação dos extremos (teste do valor de
e segundo derivada depois):
- Em
: há mudança de crescente para decrescente → máximo local. - Em
: há mudança de decrescente para crescente → mínimo local.
Valores nas extremidades:
Breve nota didática: lembrar que
.
Passo 6
Derivada segunda e concavidade (como usar e interpretar).
Vou calcular derivando
usando novamente a regra do produto.
Vou calcular
Seja
e
.
-
(como antes). -
.
Aplicando a regra do produto:
Coloco
em evidência:
Fatorando:
Como
, zeros de
vêm de
e
.
Esses são candidatos a pontos de inflexão; preciso verificar mudança de sinal de
para confirmar inflexões. Faço um estudo rápido do sinal de
:
- Para
: e → produto negativo → (côncavo para baixo). - Para
: e → produto positivo → (côncavo para cima). - Para
: e → produto negativo → (côncavo para baixo). - Para
: e → produto positivo → (côncavo para cima).
Conclusões de concavidade:
- Côncavo para baixo em
e em . - Côncavo para cima em
e em .
Pontos de inflexão (onde a concavidade muda) são confirmados em
Coordenadas dos pontos de inflexão:
Passo 7
Verificações extras e aproximação local (usado para desenhar bem perto do zero).
- Declive no ponto originário:
. Então a reta tangente em tem coeficiente angular ; isso ajuda a desenhar o cruzamento pelo eixo com inclinação de (linha ) em pequena vizinhança. - Série de Taylor de baixo grau para entender a forma perto de
. Expando , então
Isso mostra que, perto de
, a função é aproximadamente
: passa pela origem com inclinação
e tem o termo cúbico negativo que curva para baixo logo em seguida no primeiro quadrante (coerente com o fato de ter inflexão em
).
Resumo do comportamento global para desenhar:
- Começando em
: (se aproxima de zero por baixo), côncavidade para baixo até , depois muda para cima, decresce até mínimo em , passa pela origem com inclinação positiva, atinge máximo em , decresce novamente e finalmente se aproxima de por cima em . - Valores importantes para marcar no esboço:
, , , , e a assíntota horizontal .
Passo 8
Instruções práticas para desenhar (passo a passo no papel)
- Trace e rotule os eixos
e . Marque a origem. - Marque o ponto
. Marque os pontos e aproximadamente em . - Marque os pontos de inflexão
. - Desenhe a assíntota horizontal
como guia: o gráfico se aproxima dela quando cresce. - Use monotonicidade: do lado direito, aumente de
até (cresce), depois decresce para conforme . Pelo fato de ser ímpar, espelhe para o lado esquerdo com sinal invertido. - Ajuste a curvatura conforme os intervalos de concavidade listados: por exemplo entre
e é côncavo para baixo, depois muda para cima para . - Garanta suavidade: função é infinitely differentiable, sem quinas.
Pequena motivação final: apesar do termo
sugerir crescimento, o fator gaussiano
domina e faz a função tender para zero nas extremidades, dando um formato tipo “senoide atenuada” com um máximo positivo e mínimo negativo simétricos.
Resposta
Domínio:
Interseções: única em (zero e intercepto em
)
Simetria: função ímpar, simétrica em relação à origem ( )
Assíntotas: horizontal para
; não há assíntotas verticais
Pontos críticos e extremos: mínimo local com
;
máximo local com
Monotonicidade: crescente em ; decrescente em
e em
Concavidade e pontos de inflexão: côncavo para baixo em e
; côncavo para cima em
e
; pontos de inflexão em
com coordenadas
e
Comportamento assintótico: (aproximação à assíntota
).
Interseções: única em
Simetria: função ímpar, simétrica em relação à origem (
Assíntotas: horizontal
Pontos críticos e extremos:
Monotonicidade: crescente em
Concavidade e pontos de inflexão: côncavo para baixo em
Comportamento assintótico: