Use as diretrizes do esboço de curvas (Domínio, Interseções, Simetria, Assíntotas, Extremos, Concavidade) para esboçar o gráfico completo de:
y=x^{3}-3 x^{2}+3

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico completo da função
y = x^{3} - 3x^{2} + 3.
Vou listar claramente o que o enunciado solicita e quais informações tenho:
  • Pedido: esboçar (desenhar) o gráfico completo da função.
  • Informações dadas: expressão da função \,y=x^{3}-3x^{2}+3.
  • O esboço completo normalmente exige: domínio, interseções com os eixos, simetria, assíntotas (se houver), extremos locais, monotonicidade, pontos de inflexão e concavidade, e comportamento para x\to\pm\infty.
    A partir daqui vou analisar cada item e, no final, juntar tudo para descrever como desenhar o gráfico.

Passo 2

  • Domínio: como a função é um polinômio, o domínio é todo o conjunto dos reais: \text{Domínio}=\mathbb{R}.í
  • Comportamento para grandes valores de x (end behavior): o termo dominante é x^{3} (coeficiente positivo). Isso implica \lim_{x\to+\infty} y = +\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty} y = -\infty.Em palavras: à direita o gráfico sobe infinito; à esquerda desce infinito.
  • Assíntotas: polinômios não têm assíntotas verticais nem horizontais; também não há assíntota oblíqua linear com significado prático aqui (o polinômio domina). Portanto: \text{Não há assíntotas verticais nem horizontais/oblíquas lineares.}ãáíí

Passo 3

  • Interseção com o eixo y (colocar x=0): y(0)=0^{3}-3\cdot0^{2}+3=3.Logo o ponto é (0,3).
  • Interseções com o eixo x (raízes da equação x^{3}-3x^{2}+3=0):
    • Não há raízes inteiras óbvias (testando x=1,2,3 obtém-se valores não nulos).
    • Observando o comportamento e os extremos (ver próximos passos) espera-se três raízes reais distintas porque a função assume valores de sinais opostos em intervalos distintos (mostrarei isso com mais detalhes antes de esboçar).
    • Para localizar as raízes aproximadamente podemos usar um método numérico simples (por exemplo, método de Newton). Apresento um procedimento básico e os resultados aproximados (bastam para o esboço manual):
      • Defino f(x)=x^{3}-3x^{2}+3 e f'(x)=3x^{2}-6x.
      • Raiz à esquerda (entre -1 e 0). Aplicando Newton rapidamente obtém-se aproximadamente x\approx -0,879.
      • Raiz entre 1 e 2. Aplicando Newton aproxima-se x\approx 1,348.
      • Raiz à direita (entre 2 e 3). Aplicando Newton aproxima-se x\approx 2,531.
    • Conclusão: as interseções com o eixo x são aproximadamente ( -0,879,0), (1,348,0) e (2,531,0).
(Se quiser, na prova normalmente não é exigido mais que localizar qualitativamente as raízes ou dar aproximações com uma ou duas casas decimais.)

Passo 4

Agora vamos achar onde a função cresce/decresce e localizar extremos locais.
  • Derivada primeira (o que ela significa): \,y'=\dfrac{dy}{dx} dá a inclinação da curva em cada ponto; onde y'=0 temos candidatos a extremos ou pontos críticos. y' = 3x^{2} - 6x = 3x(x-2).
  • Zeros da derivada (pontos críticos): y'=0 \iff x=0 \quad\text{ou}\quad x=2.
  • Teste de sinal para monotonicidade (analisar y' em intervalos):
    • Para x<0: x é negativo e x-2 também é negativo → produto 3x(x-2) é positivo. Logo y'>0 em (-\infty,0) ⇒ função crescente ali.
    • Para 0<x<2: x>0 e x-2<0 → produto negativo ⇒ y'<0 em (0,2) ⇒ função decrescente ali.
    • Para x>2: x>0 e x-2>0 → produto positivo ⇒ y'>0 em (2,\infty) ⇒ função crescente ali.
  • Natureza dos pontos:
    • Em x=0 a derivada muda de positiva para negativa ⇒ ponto de máximo local. Valor: y(0)=3. Logo há um máximo local em (0,3).
    • Em x=2 a derivada muda de negativa para positiva ⇒ ponto de mínimo local. Valor: y(2)=2^{3}-3\cdot2^{2}+3=8-12+3=-1. Logo mínimo local em (2,-1).
      Observação: por ser um polinômio de grau ímpar com comportamento -\infty à esquerda e +\infty à direita, esses extremos são locais (não há máximo/minimo global).

Passo 5

A segunda derivada indica concavidade (curvatura): se y''>0 a curva é côncava para cima; se y''<0 é côncava para baixo. Pontos onde y''=0 potencialmente são pontos de inflexão (mudança de concavidade).
  • Segunda derivada: y'' = \frac{d}{dx}(3x^{2}-6x) = 6x-6 = 6(x-1).
  • Zeros e sinais:
    • y''=0 em x=1.
    • Para x<1: x-1<0 y''<0 ⇒ concavidade para baixo em (-\infty,1).
    • Para x>1: x-1>0 y''>0 ⇒ concavidade para cima em (1,\infty).
  • Valor no ponto x=1: y(1)=1^{3}-3\cdot1^{2}+3=1-3+3=1. Então há um ponto de inflexão em (1,1) (a concavidade troca de para baixo para para cima).

Passo 6

Reunindo os pontos e valores importantes que marcarão o esboço:
  • Domínio: \mathbb{R}.
  • Interseção com o eixo y: (0,3).
  • Interseções com o eixo x (aproximações): (-0,879,0), (1,348,0), (2,531,0).
  • Máximo local: (0,3).
  • Mínimo local: (2,-1).
  • Ponto de inflexão: (1,1).
  • Monotonicidade:
    • Crescente em (-\infty,0).
    • Decrescente em (0,2).
    • Crescente em (2,\infty).
  • Concavidade:
    • Côncava para baixo em (-\infty,1).
    • Côncava para cima em (1,\infty).
  • Comportamento nas extremidades: y\to -\infty quando x\to -\infty e y\to +\infty quando x\to +\infty.

Passo 7

  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque eixos: coloque os pontos-chave aproximados:
    • Marque (0,3) (também é máximo local).
    • Marque (2,-1) (mínimo local).
    • Marque o ponto de inflexão (1,1).
    • Marque as três raízes aproximadas (-0,879,0), (1,348,0), (2,531,0).
  3. Conecte os pontos respeitando monotonicidade e concavidade:
    • À esquerda de -0,879 a curva vem de -\infty, sobe de forma côncava para baixo até cruzar o eixo x em -0,879 e continuar subindo até alcançar o máximo em (0,3).
    • Depois do máximo em x=0 a curva desce (ainda côncava para baixo) até passar pelo ponto de inflexão (1,1) — aí a concavidade muda — e segue descendo até o mínimo em (2,-1).
    • A partir de x=2 a curva sobe novamente (côncava para cima), cruza o eixo x em x\approx 2,531 e tende para +\infty conforme x\to+\infty.
  4. Verifique coerência: o máximo local (0,3) fica acima do eixo x, o mínimo (2,-1) fica abaixo, garantindo as três raízes por continuidade.
  5. Ao desenhar à mão, não precisa ser exato nas curvas, mas mantenha a posição relativa dos pontos e as formas de concavidade.
Dica encorajadora: marque primeiro os pontos exatos (0,3), (1,1), (2,-1) — eles são fáceis — e depois componha a curva. Com esses três pontos e os sinais de y' e y'' o esboço já fica muito fiel.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Interseção com o eixo y: (0,3)
Interseções com o eixo x (aprox.): (-0,879,0), (1,348,0), (2,531,0)
Máximo local: (0,3)
Mínimo local: (2,-1)
Ponto de inflexão: (1,1)
Monotonicidade: crescente em (-\infty,0), decrescente em (0,2), crescente em (2,\infty)
Concavidade: côncava para baixo em (-\infty,1), côncava para cima em (1,\infty)
Assíntotas: nenhuma (polinômio)
Comportamento nas extremidades: y\to -\infty quando x\to -\infty e y\to +\infty quando x\to +\infty

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