Use as diretrizes do esboço de curvas (Domínio, Interseções, Simetria, Assíntotas, Extremos, Concavidade) para esboçar o gráfico completo de:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico completo da função
Vou listar claramente o que o enunciado solicita e quais informações tenho:
- Pedido: esboçar (desenhar) o gráfico completo da função.
- Informações dadas: expressão da função
. - O esboço completo normalmente exige: domínio, interseções com os eixos, simetria, assíntotas (se houver), extremos locais, monotonicidade, pontos de inflexão e concavidade, e comportamento para
.
A partir daqui vou analisar cada item e, no final, juntar tudo para descrever como desenhar o gráfico.
Passo 2
- Domínio: como a função é um polinômio, o domínio é todo o conjunto dos reais:
- Comportamento para grandes valores de
(end behavior): o termo dominante é (coeficiente positivo). Isso implica Em palavras: à direita o gráfico sobe infinito; à esquerda desce infinito. - Assíntotas: polinômios não têm assíntotas verticais nem horizontais; também não há assíntota oblíqua linear com significado prático aqui (o polinômio domina). Portanto:
Passo 3
- Interseção com o eixo
(colocar ): Logo o ponto é . - Interseções com o eixo
(raízes da equação ): - Não há raízes inteiras óbvias (testando
obtém-se valores não nulos). - Observando o comportamento e os extremos (ver próximos passos) espera-se três raízes reais distintas porque a função assume valores de sinais opostos em intervalos distintos (mostrarei isso com mais detalhes antes de esboçar).
- Para localizar as raízes aproximadamente podemos usar um método numérico simples (por exemplo, método de Newton). Apresento um procedimento básico e os resultados aproximados (bastam para o esboço manual):
- Defino
e . - Raiz à esquerda (entre
e ). Aplicando Newton rapidamente obtém-se aproximadamente - Raiz entre
e . Aplicando Newton aproxima-se - Raiz à direita (entre
e ). Aplicando Newton aproxima-se
- Defino
- Conclusão: as interseções com o eixo
são aproximadamente , e .
- Não há raízes inteiras óbvias (testando
(Se quiser, na prova normalmente não é exigido mais que localizar qualitativamente as raízes ou dar aproximações com uma ou duas casas decimais.)
Passo 4
Agora vamos achar onde a função cresce/decresce e localizar extremos locais.
- Derivada primeira (o que ela significa):
dá a inclinação da curva em cada ponto; onde temos candidatos a extremos ou pontos críticos. - Zeros da derivada (pontos críticos):
- Teste de sinal para monotonicidade (analisar
em intervalos): - Para
: é negativo e também é negativo → produto é positivo. Logo em ⇒ função crescente ali. - Para
: e → produto negativo ⇒ em ⇒ função decrescente ali. - Para
: e → produto positivo ⇒ em ⇒ função crescente ali.
- Para
- Natureza dos pontos:
- Em
a derivada muda de positiva para negativa ⇒ ponto de máximo local. Valor: . Logo há um máximo local em . - Em
a derivada muda de negativa para positiva ⇒ ponto de mínimo local. Valor: . Logo mínimo local em .
Observação: por ser um polinômio de grau ímpar com comportamentoà esquerda e à direita, esses extremos são locais (não há máximo/minimo global).
- Em
Passo 5
A segunda derivada indica concavidade (curvatura): se
a curva é côncava para cima; se
é côncava para baixo. Pontos onde
potencialmente são pontos de inflexão (mudança de concavidade).
- Segunda derivada:
- Zeros e sinais:
-
em . - Para
: ⇒ ⇒ concavidade para baixo em . - Para
: ⇒ ⇒ concavidade para cima em .
-
- Valor no ponto
: . Então há um ponto de inflexão em (a concavidade troca de para baixo para para cima).
Passo 6
Reunindo os pontos e valores importantes que marcarão o esboço:
- Domínio:
. - Interseção com o eixo
: . - Interseções com o eixo
(aproximações): , , . - Máximo local:
. - Mínimo local:
. - Ponto de inflexão:
. - Monotonicidade:
- Crescente em
. - Decrescente em
. - Crescente em
.
- Crescente em
- Concavidade:
- Côncava para baixo em
. - Côncava para cima em
.
- Côncava para baixo em
- Comportamento nas extremidades:
quando e quando .
Passo 7
- Desenhe os eixos
e . - Marque eixos: coloque os pontos-chave aproximados:
- Marque
(também é máximo local). - Marque
(mínimo local). - Marque o ponto de inflexão
. - Marque as três raízes aproximadas
, , .
- Marque
- Conecte os pontos respeitando monotonicidade e concavidade:
- À esquerda de
a curva vem de , sobe de forma côncava para baixo até cruzar o eixo em e continuar subindo até alcançar o máximo em . - Depois do máximo em
a curva desce (ainda côncava para baixo) até passar pelo ponto de inflexão — aí a concavidade muda — e segue descendo até o mínimo em . - A partir de
a curva sobe novamente (côncava para cima), cruza o eixo em e tende para conforme .
- À esquerda de
- Verifique coerência: o máximo local
fica acima do eixo , o mínimo fica abaixo, garantindo as três raízes por continuidade. - Ao desenhar à mão, não precisa ser exato nas curvas, mas mantenha a posição relativa dos pontos e as formas de concavidade.
Dica encorajadora: marque primeiro os pontos exatos
,
,
— eles são fáceis — e depois componha a curva. Com esses três pontos e os sinais de
e
o esboço já fica muito fiel.
Resposta
Domínio:
Interseção com o eixo :
Interseções com o eixo (aprox.):
,
,
Máximo local:
Mínimo local:
Ponto de inflexão:
Monotonicidade: crescente em , decrescente em
, crescente em
Concavidade: côncava para baixo em , côncava para cima em
Assíntotas: nenhuma (polinômio)
Comportamento nas extremidades: quando
e
quando
Interseção com o eixo
Interseções com o eixo
Máximo local:
Mínimo local:
Ponto de inflexão:
Monotonicidade: crescente em
Concavidade: côncava para baixo em
Assíntotas: nenhuma (polinômio)
Comportamento nas extremidades: