Use a distribuição de probabilidades que você construiu no Exercício 7(a) para encontrar a probabilidade de selecionar aleatoriamente um domicílio que tenha:
(a) um ou dois televisores,
(b) dois ou mais televisores,
(c) entre um e três televisores, inclusive.
(a) um ou dois televisores,
(b) dois ou mais televisores,
(c) entre um e três televisores, inclusive.
Passo 1
O enunciado pede que eu use “a distribuição de probabilidades que você construiu no Exercício 7(a)” para encontrar, ao selecionar aleatoriamente um domicílio, as probabilidades de três eventos:
- (a) ter um ou dois televisores;
- (b) ter dois ou mais televisores;
- (c) ter entre um e três televisores, inclusive.
Informações relevantes do enunciado que tenho à disposição:
- A distribuição pedida no Exercício 7(a) NÃO foi enviada aqui. Portanto não tenho os valores numéricos das probabilidades de cada número de televisores.
- É presumível que exista uma variável aleatória que conta o número de televisores por domicílio; vou tratá‑la formalmente abaixo.
Obs.: como a distribuição não foi fornecida, não posso dar valores numéricos finais. Posso, no entanto, mostrar passo a passo como calcular cada probabilidade a partir da distribuição e dar a forma final em termos das probabilidades individuais.
Passo 2
Definição de notação (essencial para a prova e para a resolução): seja
a variável aleatória “número de televisores no domicílio”. Para cada inteiro
definimos
Ou seja,
é a probabilidade de um domicílio não ter televisores,
é a probabilidade de ter exatamente um televisor,
a probabilidade de ter exatamente dois, e assim por diante. A distribuição construída no Exercício 7(a) deveria fornecer todos esses
. Além disso, por ser uma distribuição de probabilidade válida, vale a identidade
Se a distribuição for truncada (por exemplo, só até
), a soma vai até esse máximo em vez de infinito.
Passo 3
Como calcular a probabilidade de um evento que é união de valores pontuais de
: se queremos a probabilidade de
pertencer a um conjunto de inteiros
, então
Isto é apenas a soma das probabilidades dos casos disjuntos. No exame, quando pedirem “um ou dois televisores”, você soma
e
. Vou aplicar isso diretamente no item (a).
Passo 4
Cálculo do item (a) — “um ou dois televisores”. Pelo raciocínio do passo anterior,
Explicação didática: os eventos “ter exatamente 1 televisor” e “ter exatamente 2 televisores” são mutuamente exclusivos (não podem ocorrer ao mesmo tempo), então somamos suas probabilidades.
Passo 5
Cálculo do item (b) — “dois ou mais televisores”. Existem duas formas úteis de calcular isso:
Forma direta (soma): somamos todas as probabilidades a partir de
:
Forma pela complementaridade (muito prática na prova): como todos os casos possíveis somam 1,
Explicação didática: é muitas vezes mais rápido computar
probabilidade de 0 ou 1 televisor
do que somar um monte de termos
, especialmente se a distribuição for infinita ou tiver muitos termos.
Passo 6
Cálculo do item (c) — “entre um e três televisores, inclusive”. Novamente usamos a soma dos casos pontuais:
Explicação didática: “inclusive” significa que tanto os extremos 1 e 3 estão incluídos; somamos exatamente as probabilidades dos valores 1, 2 e 3.
Passo 7
Exemplo numérico ilustrativo (apenas para fixar a ideia — NÃO é a solução do seu Exercício 7(a), porque eu não tenho aqueles números): suponha que a distribuição desse exemplo seja
,
,
,
,
. Então:
- (a)
. - (b)
. - (c)
.
Use esse tipo de soma com os
que o seu Exercício 7(a) forneceu para obter os valores numéricos corretos.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)