De acordo com o Bureau of Labor Statistics, a remuneração média por semana dos trabalhadores norte-americanos do setor de produção foi de US
$90$.
Quanto um trabalhador do setor de produção teve de ganhar para se colocar entre os
que receberam os maiores salários?
Quanto um trabalhador do setor de produção teve de ganhar para se colocar entre os
Passo 1
O enunciado pede: “Quanto um trabalhador do setor de produção teve de ganhar para se colocar entre os
que receberam os maiores salários?”\n\nInformações dadas pelo enunciado:\n\n- Remuneração média por semana:
.\n- Suposição: salários seguem distribuição normal.\n- Desvio padrão:
.\n- Queremos o ponto de corte para estar entre os
maiores salários (ou seja, o salário que separa os
inferiores dos
superiores).
Passo 2
Entendendo o que significa “ficar entre os
que receberam os maiores salários”: isso quer dizer que queremos o valor
tal que a probabilidade de um salário ser maior que
seja
. Em termos matemáticos:
Como a distribuição é contínua, isso equivale a
ou seja,
é o percentil de ordem
(o quantil
) da distribuição normal dos salários.
Passo 3
Lembrando a modelagem da normal: se
é o salário, temos
onde
é a média e
é o desvio padrão. Aqui:
Para traduzir percentis da normal para valores concretos usamos o escore-padrão (z-score). O z-score de um valor
é
Esse
mede quantos desvios-padrão
está acima (ou abaixo, se negativo) da média.
Passo 4
A relação entre o percentil e o z é: encontrar o
tal que a função de distribuição acumulada padrão
seja
. Ou seja,
Esse
é o quantil da normal padrão correspondente a
. Em tabelas de normal padrão ou em calculadora estatística, o valor correspondente é aproximadamente
(Explicação rápida: muitas tabelas dão
e
; interpolando ou usando inversa mais precisa obtemos
para exatamente
.)
Passo 5
Agora voltamos da escala z para a escala dos salários usando a fórmula inversa:
Aqui
,
e
. Substituindo:
Passo 6
Calculemos o produto passo a passo (para você conseguir reproduzir na prova sem calculadora, dá para fazer uma multiplicação simples):\n\nPrimeiro:
Multiplicando por
:
Agora somamos à média:
Passo 7
Arredondando para centavos (duas casas decimais):
fica
(porque o terceiro decimal é
, não arredonda para cima). Portanto, qualquer trabalhador que ganha pelo menos
por semana está entre os
que recebem os maiores salários.\n\nInterpretação final rápida: esse é o salário mínimo semanal para entrar no top
do setor de produção, supondo normalidade e os parâmetros dados.