De acordo com o Bureau of Labor Statistics, a remuneração média por semana dos trabalhadores norte-americanos do setor de produção foi de US 441,84 (The World Almanac, 2000). Suponha que os dados disponíveis indiquem que os salários dos trabalhadores do setor de produção estejam normalmente distribuídos, com um desvio padrão de USíáçãíã$90$.
Quanto um trabalhador do setor de produção teve de ganhar para se colocar entre os 20 \% que receberam os maiores salários?

Passo 1

O enunciado pede: “Quanto um trabalhador do setor de produção teve de ganhar para se colocar entre os 20\% que receberam os maiores salários?”\n\nInformações dadas pelo enunciado:\n\n- Remuneração média por semana: \$441,84.\n- Suposição: salários seguem distribuição normal.\n- Desvio padrão: \$90.\n- Queremos o ponto de corte para estar entre os 20\% maiores salários (ou seja, o salário que separa os 80\% inferiores dos 20\% superiores).

Passo 2

Entendendo o que significa “ficar entre os 20\% que receberam os maiores salários”: isso quer dizer que queremos o valor x tal que a probabilidade de um salário ser maior que x seja 20\%. Em termos matemáticos:
P(X \ge x)=0{,}20.
Como a distribuição é contínua, isso equivale a
P(X \le x)=0{,}80,
ou seja, x é o percentil de ordem 80\% (o quantil 0{,}8) da distribuição normal dos salários.

Passo 3

Lembrando a modelagem da normal: se X é o salário, temos
X \sim N(\mu,\sigma^{2}),
onde \mu é a média e \sigma é o desvio padrão. Aqui:
\mu=\$441,84,\qquad \sigma=\$90.
Para traduzir percentis da normal para valores concretos usamos o escore-padrão (z-score). O z-score de um valor x é
z=\frac{x-\mu}{\sigma}.
Esse z mede quantos desvios-padrão x está acima (ou abaixo, se negativo) da média.

Passo 4

A relação entre o percentil e o z é: encontrar o z tal que a função de distribuição acumulada padrão \Phi(z) seja 0{,}80. Ou seja,
\Phi(z)=0{,}80.
Esse z é o quantil da normal padrão correspondente a 0{,}8. Em tabelas de normal padrão ou em calculadora estatística, o valor correspondente é aproximadamente
z\approx 0{,}8416.
(Explicação rápida: muitas tabelas dão \Phi(0{,}84)\approx 0{,}7995 e \Phi(0{,}85)\approx 0{,}8023; interpolando ou usando inversa mais precisa obtemos 0{,}8416 para exatamente 0{,}8000.)

Passo 5

Agora voltamos da escala z para a escala dos salários usando a fórmula inversa:
x=\mu+z\sigma.
Aqui \mu=\$441,84, \sigma=\$90 e z\approx 0{,}8416. Substituindo:
x=\$441{,}84 + 0{,}8416\cdot \$90.

Passo 6

Calculemos o produto passo a passo (para você conseguir reproduzir na prova sem calculadora, dá para fazer uma multiplicação simples):\n\nPrimeiro:
0{,}8416\times 90 = 0{,}8416\times(9\times 10)= (0{,}8416\times 9)\times 10.
0{,}8416\times 9 = 7{,}5744.
Multiplicando por 10:
0{,}8416\times 90 = 75{,}744.
Agora somamos à média:
x=\$441{,}84 + \$75{,}744 = \$517{,}584.

Passo 7

Arredondando para centavos (duas casas decimais): \$517{,}584 fica \$517{,}58 (porque o terceiro decimal é 4, não arredonda para cima). Portanto, qualquer trabalhador que ganha pelo menos \$517{,}58 por semana está entre os 20\% que recebem os maiores salários.\n\nInterpretação final rápida: esse é o salário mínimo semanal para entrar no top 20\% do setor de produção, supondo normalidade e os parâmetros dados.

Resposta

\$517{,}58

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