O tempo necessário para concluir um exame final em determinado curso universitário está distribuído normalmente com uma média de 80 minutos e desvio padrão de dez minutos. Responda às seguintes questões:
a. Qual é a probabilidade de alguém concluir o exame em uma hora ou menos?
b. Qual é a probabilidade de um estudante concluir o exame em mais de 60 minutos, porém, menos de 75 minutos?
c. Suponha que a classe tenha 60 alunos e que a duração do exame seja de 90 minutos. Quantos estudantes você acha que não conseguirão concluir o exame no tempo determinado?
a. Qual é a probabilidade de alguém concluir o exame em uma hora ou menos?
b. Qual é a probabilidade de um estudante concluir o exame em mais de 60 minutos, porém, menos de 75 minutos?
c. Suponha que a classe tenha 60 alunos e que a duração do exame seja de 90 minutos. Quantos estudantes você acha que não conseguirão concluir o exame no tempo determinado?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz as seguintes perguntas:
-
Informações dadas:
- A variável “tempo para concluir o exame” é normalmente distribuída com média
minutos e desvio padrão minutos. - Tamanho da turma (para a parte c):
alunos. - Duração do exame (para a parte c):
minutos.
- A variável “tempo para concluir o exame” é normalmente distribuída com média
-
Perguntas:
a. Qual é a probabilidade de alguém concluir o exame em uma hora ou menos? (ou seja, emminutos)
b. Qual é a probabilidade de um estudante concluir o exame em mais deminutos, porém menos de minutos? (ou seja, )
c. Supondo a turma dealunos e duração de minutos, quantos estudantes você acha que não conseguirão concluir o exame no tempo (ou seja, quantos terão )?
Passo 2
Conceito e ferramenta que vamos usar (passo-a-passo didático):
- A variável
(tempo de prova) segue uma distribuição normal com média e desvio padrão . Para calcular probabilidades usamos a transformação para a variável normal padrão . - A fórmula de padronização é
onde:
-
é o tempo que queremos avaliar (por ex. ), -
é a média ( ), -
é o desvio padrão ( ), -
é a variável normal padrão, que tem média e desvio padrão . - Depois de transformar para
, consultamos a função de distribuição acumulada da normal padrão, denotada por . - Observações úteis sobre a tabela/valores de
: -
por simetria. - Valores comuns (tabela padrão):
, , . - Assim
, , .
-
- Agora vamos aplicar isso às três partes do problema, passando por cada cálculo.
Passo 3
Parte (a): probabilidade de concluir em uma hora ou menos (
).
- Primeiro calcule o
-score de :
- Queremos
. - Usando a tabela da normal padrão:
. - Portanto
ou seja aproximadamente
.
Passo 4
Parte (b): probabilidade de
.
- Calculamos os
-scores para as duas bordas: - Para
já vimos: . - Para
:
- Para
- Queremos
. - Usando a tabela:
e . - Então
- Em porcentagem, isto é cerca de
.
Passo 5
Parte (c): com turma de
alunos e duração de
minutos, quantos não conseguem terminar (isto é,
).
- Primeiro o
-score para :
- Probabilidade de um aluno não terminar a tempo é
. - Usando a tabela:
, então
- Número esperado de alunos que não terminam numa turma de
é
- Como número de alunos tem que ser inteiro, isso corresponde a aproximadamente
alunos (ou podemos dizer que esperamos cerca de ou , sendo o arredondamento mais natural).
Passo 6
Dicas rápidas para a prova (resumindo o procedimento que usamos):
- Sempre padronize com
. - Use a tabela da normal padrão
ou calculadora; lembre da simetria para evitar procurar entradas negativas. - Multiplique a probabilidade pelo tamanho da amostra para obter a expectativa de contagem (como fizemos na parte c).
Resposta
a)
(≈
)
b) (≈
)
c) Espera-se aproximadamente alunos não terminarem (valor esperado
).
b)
c) Espera-se aproximadamente