O tempo necessário para concluir um exame final em determinado curso universitário está distribuído normalmente com uma média de 80 minutos e desvio padrão de dez minutos. Responda às seguintes questões:
a. Qual é a probabilidade de alguém concluir o exame em uma hora ou menos?
b. Qual é a probabilidade de um estudante concluir o exame em mais de 60 minutos, porém, menos de 75 minutos?
c. Suponha que a classe tenha 60 alunos e que a duração do exame seja de 90 minutos. Quantos estudantes você acha que não conseguirão concluir o exame no tempo determinado?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz as seguintes perguntas:
  • Informações dadas:
    • A variável “tempo para concluir o exame” é normalmente distribuída com média \mu = 80 minutos e desvio padrão \sigma = 10 minutos.
    • Tamanho da turma (para a parte c): 60 alunos.
    • Duração do exame (para a parte c): 90 minutos.
  • Perguntas:
    a. Qual é a probabilidade de alguém concluir o exame em uma hora ou menos? (ou seja, em \le 60 minutos)
    b. Qual é a probabilidade de um estudante concluir o exame em mais de 60 minutos, porém menos de 75 minutos? (ou seja, 60 < X < 75)
    c. Supondo a turma de 60 alunos e duração de 90 minutos, quantos estudantes você acha que não conseguirão concluir o exame no tempo (ou seja, quantos terão X>90)?

Passo 2

Conceito e ferramenta que vamos usar (passo-a-passo didático):
  • A variável X (tempo de prova) segue uma distribuição normal com média \mu e desvio padrão \sigma. Para calcular probabilidades usamos a transformação para a variável normal padrão Z.
  • A fórmula de padronização é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde:
  • X é o tempo que queremos avaliar (por ex. 60,75,90),
  • \mu é a média ( 80),
  • \sigma é o desvio padrão ( 10),
  • Z é a variável normal padrão, que tem média 0 e desvio padrão 1.
  • Depois de transformar para Z, consultamos a função de distribuição acumulada da normal padrão, denotada por \Phi(z)=P(Z\le z).
  • Observações úteis sobre a tabela/valores de \Phi:
    • \Phi(-z)=1-\Phi(z) por simetria.
    • Valores comuns (tabela padrão):
      \Phi(1)=0,8413, \Phi(0,5)=0,6915, \Phi(2)=0,9772.
    • Assim \Phi(-1)=0,1587, \Phi(-0,5)=0,3085, \Phi(-2)=0,0228.
  • Agora vamos aplicar isso às três partes do problema, passando por cada cálculo.

Passo 3

Parte (a): probabilidade de concluir em uma hora ou menos ( X\le 60).
  • Primeiro calcule o z-score de X=60:
z=\frac{60-80}{10}=\frac{-20}{10}=-2.
  • Queremos P(X\le 60)=P\!\left(Z\le -2\right).
  • Usando a tabela da normal padrão: \Phi(-2)=0,0228.
  • Portanto
P(X\le 60)=0,0228,
ou seja aproximadamente 2{,}28\%.

Passo 4

Parte (b): probabilidade de 60<X<75.
  • Calculamos os z-scores para as duas bordas:
    • Para X=60 já vimos: z_1=-2.
    • Para X=75:
    z_2=\frac{75-80}{10}=\frac{-5}{10}=-0{,}5.
  • Queremos P(60<X<75)=P(-2<Z<-0{,}5)=\Phi(-0{,}5)-\Phi(-2).
  • Usando a tabela: \Phi(-0{,}5)=0,3085 e \Phi(-2)=0,0228.
  • Então
P(60<X<75)=0,3085-0,0228=0,2857.
  • Em porcentagem, isto é cerca de 28{,}57\%.

Passo 5

Parte (c): com turma de 60 alunos e duração de 90 minutos, quantos não conseguem terminar (isto é, X>90).
  • Primeiro o z-score para X=90:
z=\frac{90-80}{10}=\frac{10}{10}=1.
  • Probabilidade de um aluno não terminar a tempo é P(X>90)=1-\Phi(1).
  • Usando a tabela: \Phi(1)=0,8413, então
P(X>90)=1-0,8413=0,1587.
  • Número esperado de alunos que não terminam numa turma de 60 é
60\times 0,1587=9,522.
  • Como número de alunos tem que ser inteiro, isso corresponde a aproximadamente 10 alunos (ou podemos dizer que esperamos cerca de 9 ou 10, sendo 10 o arredondamento mais natural).

Passo 6

Dicas rápidas para a prova (resumindo o procedimento que usamos):
  • Sempre padronize com Z=(X-\mu)/\sigma.
  • Use a tabela da normal padrão \Phi ou calculadora; lembre da simetria \Phi(-z)=1-\Phi(z) para evitar procurar entradas negativas.
  • Multiplique a probabilidade pelo tamanho da amostra para obter a expectativa de contagem (como fizemos na parte c).

Resposta

a) P(X\le 60)=0,0228 (≈ 2{,}28\%)
b) P(60<X<75)=0,2857 (≈ 28{,}57\%)
c) Espera-se aproximadamente 10 alunos não terminarem (valor esperado 60\times0,1587=9,522).

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