Use os dois resultados anteriores e os resultados estudados em sala de aula para estudar os limites das seguintes sequências:
D. x_{n}=\frac{2^{n}}{n}

Passo 1

O enunciado pede para estudar o limite da sequência
x_{n} = \frac{2^{n}}{n}.
O conteúdo aqui é limite de sequência e, em particular, podemos aplicar o teste da razão (um dos resultados vistos em sala) ou então usar que a parte exponencial cresce mais rápido que qualquer polinômio.

Passo 2

Vamos calcular a razão entre termos consecutivos:
\frac{x_{n+1}}{x_{n}} = \frac{\frac{2^{\,n+1}}{n+1}}{\frac{2^{\,n}}{n}} = \frac{2^{\,n+1}}{n+1}\,\frac{n}{2^{\,n}} = \frac{2\,n}{n+1}.
Então
\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{2\,n}{n+1} = 2.

Passo 3

Como o teste da razão diz que, se
L = \lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_{n}}
existe e L>1, então x_{n}\to+\infty. Aqui L=2>1, logo a sequência diverge para +\infty.

Passo 4

Como comentário adicional, poderíamos usar também o teste da raiz:
\sqrt[n]{x_{n}} = \sqrt[n]{\frac{2^{n}}{n}} = \frac{2}{n^{1/n}} \;\longrightarrow\; 2>1,
o que confirma que x_{n}\to+\infty.

Resposta

\lim_{n\to\infty}x_{n}=+\infty.

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