Use os dois resultados anteriores e os resultados estudados em sala de aula para estudar os limites das seguintes sequências:
A. x_{n}=\frac{2^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para estudar o limite da sequência
x_n = \frac{2^n}{n!}\,,
que é um problema de limites de sequências. Em sala vimos dois resultados úteis:
  1. Critério da razão para sequência (x_n): se existe
\ell = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{x_{n+1}}{x_n}\right|
com \ell<1, então x_n\to0.
2. Fatorial cresce mais rápido que potência fixa, mas podemos demonstrar isso via o critério da razão.

Passo 2

Vamos aplicar o critério da razão. Calculemos
\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{2^{\,n+1}/(n+1)!}{2^n/n!} = \frac{2^{\,n+1}}{2^n}\,\frac{n!}{(n+1)!} = \frac{2}{n+1}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{2}{n+1} = 0.

Passo 3

Como \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}=0<1, pelo critério da razão concluímos que
\lim_{n\to\infty}x_n = 0.

Resposta

\lim_{n\to\infty}\frac{2^n}{n!} = 0.

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