Use os dois resultados anteriores e os resultados estudados em sala de aula para estudar os limites das seguintes sequências:
D. x_{n}=\frac{2^{n}}{n}

Passo 1

O enunciado pede estudar o comportamento, quando n\to\infty, da sequência
x_{n}=\frac{2^{n}}{n}.
O conteúdo principal é comparar crescimento exponencial e polinomial e usar o critério da razão para sequências positivas.

Passo 2

Calculemos a razão entre termos consecutivos:
\frac{x_{n+1}}{x_{n}} =\frac{2^{n+1}/(n+1)}{2^{n}/n} =\frac{2\cdot n}{\,n+1\,} =\frac{2}{1+\tfrac1n}.
Como n\to\infty, temos \tfrac1n\to0 e portanto
\frac{x_{n+1}}{x_{n}}\longrightarrow 2>1.
Além disso, para n\ge3 tem \tfrac1n\le\tfrac13, logo
\frac{x_{n+1}}{x_{n}} =\frac{2}{1+\tfrac1n} \ge\frac{2}{1+\tfrac13} =\frac{2}{\tfrac43} =\tfrac32.

Passo 3

Da desigualdade \tfrac{x_{n+1}}{x_{n}}\ge\tfrac32 para todo n\ge3, segue por indução que, para n\ge3,
x_{n}\ge x_{3}\,\Bigl(\tfrac32\Bigr)^{\,n-3}.
Como x_{3}=2^{3}/3=8/3>0 e \bigl(\tfrac32\bigr)^{n-3}\to\infty quando n\to\infty, concluímos que x_{n}\to\infty.

Resposta

\lim_{n\to\infty}x_{n}=+\infty.

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