Seja A=\left(\begin{array}{rr}1 & 1 \\\\ -1 & 3\end{array}\right) e defina T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} por T(\mathbf{v})=\mathbf{A v}. Mostre que \mathbf{v}_{1}=(1,1) é autovetor de T e que o operador linear T não é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ -1 & 3\end{pmatrix}
e define o operador linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 por T(\mathbf{v})=A\mathbf{v}.
Preciso mostrar que \mathbf{v}_1=(1,1) é autovetor de T e, em seguida, usar teoria de valores próprios (polinômio característico e multiplicidades) para concluir que T não é diagonalizável.

Passo 2

Para ver que \mathbf{v}_1 é autovetor, calculo
T(\mathbf{v}_1) = A\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot1 + 1\cdot1 \\\\ -1\cdot1 + 3\cdot1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\\\ 2\end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} = 2\,\mathbf{v}_1.
Logo \mathbf{v}_1 é autovetor com autovalor \lambda=2.

Passo 3

Agora calculo o polinômio característico de A:
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}1-\lambda & 1 \\\\ -1 & 3-\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)(3-\lambda) - (1)(-1) = \lambda^2 - 4\lambda + 3 + 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 4 = (\lambda - 2)^2.
Assim o único autovalor é \lambda=2, com multiplicidade algébrica igual a 2.

Passo 4

Para ver a multiplicidade geométrica, resolvo (A - 2I)\mathbf{v}=0:
A - 2I = \begin{pmatrix}-1 & 1 \\\\ -1 & 1\end{pmatrix},
de onde a equação é -v_1 + v_2 = 0. Isso obriga v_2=v_1, ou seja, todo autovetor tem a forma (t,t), múltiplo de (1,1). Logo o espaço próprio associado a \lambda=2 é unidimensional, com multiplicidade geométrica igual a 1.

Passo 5

Como a multiplicidade geométrica de \lambda=2 (que é 1) é menor do que sua multiplicidade algébrica (que é 2), não há base de \mathbb{R}^2 formada por autovetores. Portanto T não é diagonalizável.

Resposta

\mathbf{v}_1=(1,1) é autovetor de T com autovalor 2, e T não é diagonalizável porque o único autovalor \lambda=2 tem multiplicidade geométrica 1 inferior à multiplicidade algébrica 2.

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