Seja A=\left(\begin{array}{rr}1 & 1 \\\\ -1 & 3\end{array}\right) e defina T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} por T(\mathbf{v})=\mathbf{A v}. Mostre que \mathbf{v}_{1}=(1,1) é autovetor de T e que o operador linear T não é diagonalizável.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ -1 & 3\end{pmatrix}
e define o operador linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 por T(\mathbf{v})=A\mathbf{v}.
Preciso mostrar que \mathbf{v}_1=(1,1) é autovetor de T e, em seguida, usar teoria de valores próprios (polinômio característico e multiplicidades) para concluir que T não é diagonalizável.
de onde a equação é -v_1 + v_2 = 0. Isso obriga v_2=v_1, ou seja, todo autovetor tem a forma (t,t), múltiplo de (1,1). Logo o espaço próprio associado a \lambda=2 é unidimensional, com multiplicidade geométrica igual a 1.
Passo 5
Como a multiplicidade geométrica de \lambda=2 (que é 1) é menor do que sua multiplicidade algébrica (que é 2), não há base de \mathbb{R}^2 formada por autovetores. Portanto T não é diagonalizável.
Resposta
\mathbf{v}_1=(1,1) é autovetor de T com autovalor 2, e T não é diagonalizável porque o único autovalor \lambda=2 tem multiplicidade geométrica 1 inferior à multiplicidade algébrica 2.