Suponha que todas as funçöes dadas sejam diferenciáveis.
Se u=f(x, y), onde x=e^t cos t e y=e^e sen t, mostre que
(partial upartial x)^2+(partial upartial y)^2=e^-2 z[(partial upartial s)^2+(partial upartial t)^2]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, definindo
x = e^scos t, y = e^ssin t
e considerando u = f(x,y), vale a identidade
l(partial upartial xr)^2+l(partial upartial yr)^2 = e^-2sl[l(partial upartial sr)^2+l(partial upartial tr)^2r]
O conteúdo principal é aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais e usar a relação x^2+y^2=e^2s.

Passo 2

Usamos a regra da cadeia nas derivadas de u(s,t)=fl(x(s,t),y(s,t)r):
partial upartial s = partial upartial xpartial xpartial s + partial upartial ypartial ypartial s, partial upartial t = partial upartial xpartial xpartial t + partial upartial ypartial ypartial t
Como
partial xpartial s=e^scos t = x, partial ypartial s=e^ssin t = y,
partial xpartial t=-e^ssin t = -y, partial ypartial t=e^scos t = x,
temos
partial upartial s = x,ux + y,uy, partial upartial t = -y,ux + x,uy,
onde escrevemos ux=partial u/partial x e uy=partial u/partial y.

Passo 3

Agora computamos a soma dos quadrados:
l(partial upartial sr)^2 + l(partial upartial tr)^2 = (x,ux+y,uy)^2+(-y,ux+x,uy)^2
Ao expandir e agrupar termos obtemos
(x^2+y^2)l(ux^2+uy^2r)
Como x^2+y^2=e^2s, isso fica
l(partialsur)^2+l(partialtur)^2 = e^2sl(ux^2+uy^2r)
Invertendo a relação, conclui-se
ux^2+uy^2 = e^-2sl[(partialsu)^2+(partialtu)^2r]

Resposta

l(partial upartial xr)^2+l(partial upartial yr)^2 = e^-2sl[l(partial upartial sr)^2+l(partial upartial tr)^2r]

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