Usando o enunciado a seguir para resolver as questões 4 e 5.
Uma indústria de bebidas está analisando o custo diário de operação
, em milhares de reais, em função da quantidade de unidades produzidas (
), em centenas de unidades. A função de custo é modelada como:
para
(centenas de unidades produzidas). O contradomínio considerado para a função é
.
Questão 5 [ 2,0 pontos] Diga se a função é invertível e, em caso afirmativo, determine
.
Questão 5 [ 2,0 pontos] Diga se a função é invertível e, em caso afirmativo, determine
Passo 1
O enunciado dá a função de custo
definida para
(onde
está em centenas de unidades e
em milhares de reais). O contradomínio considerado é
A pergunta desta questão é: “A função é invertível? Em caso afirmativo, determine
.” Ou seja, preciso dizer se existe uma função inversa que, dada uma certa quantidade de custo
, devolve a produção
; e, se existir, escrever essa função inversa explicitamente.
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Entender o módulo e escrever a função em forma “sem módulo”. A expressão tem
. Para remover o módulo, encontramos onde o argumento muda de sinal:
Logo, dividimos o domínio em duas partes:
e
.
Para
temos
, então
Substituindo em
:
Para
temos
, então
Substituindo:
Portanto
é a função linear por partes
Passo 3
Verificar imagem (valores extremos) e monotonicidade (para decidir invertibilidade).
Avaliações nos extremos e no ponto de mudança:
Assim a imagem de
quando
é exatamente o intervalo
, que é o contradomínio informado.
Agora monotonicidade: cada ramo é linear com coeficiente angular positivo:
- no primeiro ramo o coeficiente é
, - no segundo ramo o coeficiente é
.
Portanto
é estritamente crescente em
e estritamente crescente em
. Como as duas expressões coincidem em
(continuidade) e os coeficientes são positivos, a função é estritamente crescente em todo
. Uma função estritamente crescente em um intervalo é injetora (um-para-um), e como sua imagem é
é bijetora entre
e
. Conclusão: a função é invertível.
Passo 4
Encontrar explicitamente a inversa resolvendo cada ramo para
em função de
(a variável independente da inversa será o valor do custo; chamo-o de
para não confundir com o
original).
Ramo 1 (quando
, imagem do primeiro ramo):
Simplificando a fração
, obtemos
Esse resultado produz
quando
, como esperado:
Ramo 2 (quando
, imagem do segundo ramo):
Como
, temos
Esse resultado produz
quando
:
Observação: em
ambas as fórmulas dão
, garantindo que a inversa é bem-definida e contínua no ponto de mudança.
Passo 5
Escrevemos a função inversa explicitamente. A variável de entrada da inversa chamei de
(o valor do custo). A inversa
é a função que, para um custo
, retorna a produção
.
A expressão final é a inversa por partes:
Resposta
Sim, a função é invertível.