Usando o enunciado a seguir para resolver as questões 4 e 5.
Uma indústria de bebidas está analisando o custo diário de operação (C(q)), em milhares de reais, em função da quantidade de unidades produzidas ( q ), em centenas de unidades. A função de custo é modelada como:
C(q)=q+20-|0,5 q-10|
para 0 \leq q \leq 40 (centenas de unidades produzidas). O contradomínio considerado para a função é 10 \leq C(q) \leq 50.
Questão 5 [ 2,0 pontos] Diga se a função é invertível e, em caso afirmativo, determine C^{-1}(q).

Passo 1

O enunciado dá a função de custo
C(q)=q+20-|0,5q-10|
definida para \,0\le q\le 40\, (onde q está em centenas de unidades e C em milhares de reais). O contradomínio considerado é
10\le C(q)\le 50.
A pergunta desta questão é: “A função é invertível? Em caso afirmativo, determine C^{-1}.” Ou seja, preciso dizer se existe uma função inversa que, dada uma certa quantidade de custo C, devolve a produção q; e, se existir, escrever essa função inversa explicitamente.
Informações relevantes dadas:
\begin{aligned} &\text{Expressão: } C(q)=q+20-|0,5q-10|,\\\ &\text{Domínio: } 0\le q\le 40,\\\ &\text{Contradomínio (faixa esperada de valores): }10\le C(q)\le 50. \end{aligned}ãíí

Passo 2

Entender o módulo e escrever a função em forma “sem módulo”. A expressão tem |0,5q-10|. Para remover o módulo, encontramos onde o argumento muda de sinal:
0,5q-10=0 \iff q=20.
Logo, dividimos o domínio em duas partes: [0,20] e [20,40].
Para 0\le q\le 20 temos 0,5q-10\le 0, então
|0,5q-10|=-(0,5q-10)=10-0,5q.
Substituindo em C(q):
C(q)=q+20-(10-0,5q)=q+20-10+0,5q=1,5q+10.
Para 20\le q\le 40 temos 0,5q-10\ge 0, então
|0,5q-10|=0,5q-10.
Substituindo:
C(q)=q+20-(0,5q-10)=q+20-0,5q+10=0,5q+30.
Portanto C(q) é a função linear por partes
C(q)= \begin{cases} 1,5q+10, & 0\le q\le 20,\\[4pt] 0,5q+30, & 20\le q\le 40. \end{cases}]

Passo 3

Verificar imagem (valores extremos) e monotonicidade (para decidir invertibilidade).
Avaliações nos extremos e no ponto de mudança:
C(0)=1,5\cdot 0+10=10,
C(20)=1,5\cdot 20+10=30+10=40 \quad\text{(confere com a outra expressão: }0,5\cdot20+30=10+30=40\text{)},ã
C(40)=0,5\cdot40+30=20+30=50.
Assim a imagem de C quando q\in[0,40] é exatamente o intervalo [10,50], que é o contradomínio informado.
Agora monotonicidade: cada ramo é linear com coeficiente angular positivo:
  • no primeiro ramo o coeficiente é 1,5>0,
  • no segundo ramo o coeficiente é 0,5>0.
Portanto C(q) é estritamente crescente em [0,20] e estritamente crescente em [20,40]. Como as duas expressões coincidem em q=20 (continuidade) e os coeficientes são positivos, a função é estritamente crescente em todo [0,40]. Uma função estritamente crescente em um intervalo é injetora (um-para-um), e como sua imagem é [10,50] é bijetora entre [0,40] e [10,50]. Conclusão: a função é invertível.

Passo 4

Encontrar explicitamente a inversa resolvendo cada ramo para q em função de C (a variável independente da inversa será o valor do custo; chamo-o de c para não confundir com o q original).
Ramo 1 (quando 10\le c\le 40, imagem do primeiro ramo):
c=1,5q+10 \quad\Rightarrow\quad c-10=1,5q \quad\Rightarrow\quad q=\dfrac{c-10}{1,5}.
Simplificando a fração \dfrac{1}{1,5}=\dfrac{2}{3}, obtemos
q=\dfrac{2}{3}(c-10).
Esse resultado produz q\in[0,20] quando c\in[10,40], como esperado:
\text{se }c=10\Rightarrow q=0,\qquad c=40\Rightarrow q=\dfrac{2}{3}\cdot 30=20.
Ramo 2 (quando 40\le c\le 50, imagem do segundo ramo):
c=0,5q+30 \quad\Rightarrow\quad c-30=0,5q \quad\Rightarrow\quad q=\dfrac{c-30}{0,5}.
Como \dfrac{1}{0,5}=2, temos
q=2(c-30)=2c-60.
Esse resultado produz q\in[20,40] quando c\in[40,50]:
\text{se }c=40\Rightarrow q=2\cdot 40-60=80-60=20,\qquad c=50\Rightarrow q=100-60=40.
Observação: em c=40 ambas as fórmulas dão q=20, garantindo que a inversa é bem-definida e contínua no ponto de mudança.

Passo 5

Escrevemos a função inversa explicitamente. A variável de entrada da inversa chamei de c (o valor do custo). A inversa C^{-1} é a função que, para um custo c\in[10,50], retorna a produção q\in[0,40].
A expressão final é a inversa por partes:
C^{-1}\text{(c)}= \begin{cases} \dfrac{2}{3}\,(c-10), & 10\le c\le 40,\\[6pt] 2c-60, & 40\le c\le 50. \end{cases}]

Resposta

Sim, a função é invertível.
C^{-1}\text{(c)}= \begin{cases} \dfrac{2}{3}\,(c-10), & 10\le c\le 40,\\[6pt] 2c-60, & 40\le c\le 50. \end{cases}

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