Usando o enunciado a seguir para resolver as questões 4 e 5.
Uma indústria de bebidas está analisando o custo diário de operação
, em milhares de reais, em função da quantidade de unidades produzidas (
), em centenas de unidades. A função de custo é modelada como:
para
(centenas de unidades produzidas). O contradomínio considerado para a função é
.
Questão 4 [ 2,0 pontos] Construa o gráfico da função
.
Questão 4 [ 2,0 pontos] Construa o gráfico da função
Passo 1
O enunciado pede que eu construa o gráfico da função de custo diária
, definida por
no intervalo
. O contradomínio considerado é
.
Informações relevantes dadas: a expressão da função (há um valor absoluto), o domínio e o contradomínio esperado. A tarefa é desenhar (esboçar) o gráfico de
usando esses dados.
Informações relevantes dadas: a expressão da função (há um valor absoluto), o domínio
Passo 2
Entendendo o valor absoluto: quando temos uma expressão com valor absoluto
, a forma padrão para eliminá-lo é analisar o sinal de
. Se
então
. Se
então
. Aqui
. Primeiro encontro o ponto onde
:
Portanto a expressão dentro do valor absoluto muda de signo em
. Vou tratar a função em dois ramos: um para
(onde
) e outro para
(onde
).
Passo 3
Ramo 1: para
temos
, logo
Substituindo em
:
Faço as contas passo a passo:
. Portanto, para
,
Explicando: é uma reta (função afim) com inclinação (coeficiente angular)
e ordenada na origem
. A inclinação
significa que aumentando
em
(centena de unidades),
aumenta em
(milhares de reais).
Passo 4
Ramo 2: para
temos
, então
Substituindo em
:
Faço as contas:
. Portanto, para
,
Isto também é uma reta, agora com inclinação
e ordenada na origem
. Slope menor: a função cresce mais devagar nesse ramo.
Passo 5
Verificação de continuidade e pontos-chave (muito importante para desenhar corretamente): calculo os valores nos extremos e no ponto de mudança
.
Usando o segundo ramo no ponto
:
o que confirma que os dois ramos se encontram em
— a função é contínua em
. Finalmente,
Esses três pontos bons para marcar no esboço são
,
e
. Também posso calcular pontos intermediários para guiar o desenho, por exemplo:
Passo 6
Instruções passo a passo para desenhar o gráfico (como fazer na prova, sem calculadora complicada):
- No eixo horizontal (eixo
) marque de a . Lembre-se: está em centenas de unidades. - No eixo vertical (eixo
) marque de a . Lembre-se: está em milhares de reais. - Marque os pontos calculados:
, , , , . Use-os como guia. - Ligue
a com uma reta, pois nesse intervalo . Essa reta tem inclinação relativamente maior (subida mais íngreme). - Ligue
a com outra reta, pois nesse intervalo . Essa reta sobe mais suavemente. - Verifique visualmente que o valor mínimo no domínio é
e o máximo é , coerente com o contradomínio dado.
Passo 7
Interpretação final do formato do gráfico (para entender o porquê): a função é a soma de uma reta
menos um V (o valor absoluto de uma reta). O efeito é que o gráfico é constituído por duas retas se encontrando suavemente em
. A inclinação diminui ao passar de
, então a curva continua crescente, mas com inclinação menor depois de
. Isso explica por que o custo continua aumentando com a produção, porém mais lentamente após
centenas de unidades.
Resposta
Segmento 1: reta de
até
com inclinação
.
Segmento 2: reta de até
com inclinação
.]
Segmento 2: reta de