Usando o enunciado a seguir para resolver as questões 4 e 5.
Uma indústria de bebidas está analisando o custo diário de operação (C(q)), em milhares de reais, em função da quantidade de unidades produzidas ( q ), em centenas de unidades. A função de custo é modelada como:
C(q)=q+20-|0,5 q-10|
para 0 \leq q \leq 40 (centenas de unidades produzidas). O contradomínio considerado para a função é 10 \leq C(q) \leq 50.
Questão 4 [ 2,0 pontos] Construa o gráfico da função C(q).

Passo 1

O enunciado pede que eu construa o gráfico da função de custo diária C(q), definida por
C(q)=q+20-|0,5 q-10|
no intervalo 0 \leq q \leq 40. O contradomínio considerado é 10 \leq C(q) \leq 50.
Informações relevantes dadas: a expressão da função (há um valor absoluto), o domínio 0\leq q\leq 40 e o contradomínio esperado. A tarefa é desenhar (esboçar) o gráfico de C(q) usando esses dados.

Passo 2

Entendendo o valor absoluto: quando temos uma expressão com valor absoluto |A|, a forma padrão para eliminá-lo é analisar o sinal de A. Se A\ge 0 então |A|=A. Se A<0 então |A|=-A. Aqui A=0,5q-10. Primeiro encontro o ponto onde A=0:
0,5q-10=0 \implies q=20.
Portanto a expressão dentro do valor absoluto muda de signo em q=20. Vou tratar a função em dois ramos: um para 0\le q\le 20 (onde 0,5q-10\le 0) e outro para 20\le q\le 40 (onde 0,5q-10\ge 0).

Passo 3

Ramo 1: para 0\le q\le 20 temos 0,5q-10\le 0, logo
|0,5q-10|=-(0,5q-10)=10-0,5q.
Substituindo em C(q):
C(q)=q+20-(10-0,5q).
Faço as contas passo a passo: q+20-10+0,5q = q+0,5q+10 = 1,5q+10. Portanto, para 0\le q\le 20,
C(q)=1,5q+10.
Explicando: é uma reta (função afim) com inclinação (coeficiente angular) 1,5 e ordenada na origem 10. A inclinação 1,5 significa que aumentando q em 1 (centena de unidades), C aumenta em 1,5 (milhares de reais).

Passo 4

Ramo 2: para 20\le q\le 40 temos 0,5q-10\ge 0, então
|0,5q-10|=0,5q-10.
Substituindo em C(q):
C(q)=q+20-(0,5q-10).
Faço as contas: q+20-0,5q+10 = q-0,5q+30 = 0,5q+30. Portanto, para 20\le q\le 40,
C(q)=0,5q+30.
Isto também é uma reta, agora com inclinação 0,5 e ordenada na origem 30. Slope menor: a função cresce mais devagar nesse ramo.

Passo 5

Verificação de continuidade e pontos-chave (muito importante para desenhar corretamente): calculo os valores nos extremos e no ponto de mudança q=20.
C(0)=1,5\cdot 0+10=10.
C(20)=1,5\cdot 20+10=30+10=40.
Usando o segundo ramo no ponto q=20:
C(20)=0,5\cdot 20+30=10+30=40,
o que confirma que os dois ramos se encontram em (20,40) — a função é contínua em q=20. Finalmente,
C(40)=0,5\cdot 40+30=20+30=50.
Esses três pontos bons para marcar no esboço são (0,10), (20,40) e (40,50). Também posso calcular pontos intermediários para guiar o desenho, por exemplo:
C(10)=1,5\cdot 10+10=15+10=25,
C(30)=0,5\cdot 30+30=15+30=45.

Passo 6

Instruções passo a passo para desenhar o gráfico (como fazer na prova, sem calculadora complicada):
  1. No eixo horizontal (eixo q) marque de 0 a 40. Lembre-se: q está em centenas de unidades.
  2. No eixo vertical (eixo C) marque de 10 a 50. Lembre-se: C está em milhares de reais.
  3. Marque os pontos calculados: (0,10), (10,25), (20,40), (30,45), (40,50). Use-os como guia.
  4. Ligue (0,10) a (20,40) com uma reta, pois nesse intervalo C(q)=1,5q+10. Essa reta tem inclinação relativamente maior (subida mais íngreme).
  5. Ligue (20,40) a (40,50) com outra reta, pois nesse intervalo C(q)=0,5q+30. Essa reta sobe mais suavemente.
  6. Verifique visualmente que o valor mínimo no domínio é C(0)=10 e o máximo é C(40)=50, coerente com o contradomínio dado.

Passo 7

Interpretação final do formato do gráfico (para entender o porquê): a função é a soma de uma reta q+20 menos um V (o valor absoluto de uma reta). O efeito é que o gráfico é constituído por duas retas se encontrando suavemente em q=20. A inclinação diminui ao passar de q=20, então a curva continua crescente, mas com inclinação menor depois de q=20. Isso explica por que o custo continua aumentando com a produção, porém mais lentamente após 20 centenas de unidades.

Resposta

C(q)= \begin{cases} 1,5q+10, & 0\le q\le 20,\\[6pt] 0,5q+30, & 20\le q\le 40. \end{cases}
Segmento 1: reta de (0,10) até (20,40) com inclinação 1,5.
Segmento 2: reta de (20,40) até (40,50) com inclinação 0,5.]

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