Use a Equação de análise da transformada de Fourier para calcular as transformadas de:
2 de

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver um exercício de transformada de Fourier. O enunciado pede pra calcular a transformada de Fourier da expressão 2 de. Basicamente, vamos usar a equação de análise da transformada de Fourier para encontrar a representação no domínio da frequência dessa combinação de funções delta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função delta, de. Ela é uma função que é zero em todos os lugares, exceto em n=0, onde ela vale 1. Quando a gente tem de, isso significa que a função delta está “deslocada” para n = k.

Passo 3

Agora, vamos relembrar a equação de análise da transformada de Fourier para sequências discretas. A transformada de Fourier X(e^jomega) de uma sequência x[n] é dada por:
X(e^jomega) = sumn=-infty^infty x[n] e^-jomega n
Isso quer dizer que a transformada de Fourier é uma soma de todos os valores da sequência multiplicados por uma exponencial complexa.

Passo 4

Vamos aplicar essa equação à nossa expressão 2 de. Primeiro, vamos identificar os valores de x[n]:
  • Para n = 1, x[1] = 2
  • Para n = -2, x[-2] = 1
  • Em todos os outros valores de n, x[n] = 0

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na equação da transformada de Fourier:
X(e^jomega) = sumn=-infty^infty x[n] e^-jomega n = 2 e^-jomega (1) + 1 cdot e^-jomega (-2)

Passo 6

Simplificando as exponenciais:
X(e^jomega) = 2 e^-jomega + e^j2omega
Aqui, usamos a propriedade de que e^-jomega (-2) = e^j2omega.

Resposta

A transformada de Fourier da sequência 2 de é:
X(e^jomega) = 2 e^-jomega + e^j2omega

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