Use a Equação de síntese da transformada de Fourier para determinar as transformadas inversas de Fourier de:
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. A gente precisa encontrar a transformada inversa de Fourier de:
Para isso, vamos usar a equação de síntese da transformada de Fourier. Basicamente, isso vai nos ajudar a passar do domínio da frequência (onde está o $ X_{1}(j \omega) $) para o domínio do tempo, ou seja, encontrar $ x(t) $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de síntese da transformada de Fourier. Ela diz que:
Essa equação serve para reconstruir o sinal no tempo a partir da transformada no domínio da frequência.
Passo 3
Agora, vamos substituir $ X_{1}(j \omega) $ na equação de síntese:
Aqui, estamos colocando tudo o que temos dentro da integral.
Passo 4
Aí vem uma coisa legal das funções delta de Dirac! A propriedade que vamos usar é:
Ou seja, a integral de uma delta multiplicada por uma função qualquer simplesmente avalia essa função no ponto onde a delta está “puxando” a frequência.
Passo 5
Aplicando essa propriedade a cada termo dentro da nossa integral:
Note que $ \delta(\omega) $ avaliando em $ \omega = 0 $, $ \delta(\omega - 3\pi) $ em $ \omega = 3\pi $, e $ \delta(\omega + 2\pi) $ em $ \omega = -2\pi $.
Passo 6
Vamos simplificar as exponenciais:
Então:
Passo 7
Agora, vamos fatorar o $ \pi $ de cada termo:
Simplificando $ \frac{\pi}{2\pi} $ que é igual a $ \frac{1}{2} $:
Resposta
A transformada inversa de Fourier é: