Use a Equação de síntese da transformada de Fourier para determinar as transformadas inversas de Fourier de:
X1(j omega)=pi de

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. A gente precisa encontrar a transformada inversa de Fourier de:
X1(j omega) = pi de
Para isso, vamos usar a equação de síntese da transformada de Fourier. Basicamente, isso vai nos ajudar a passar do domínio da frequência (onde está o $ X_{1}(j \omega) $) para o domínio do tempo, ou seja, encontrar $ x(t) $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de síntese da transformada de Fourier. Ela diz que:
x(t) = 12pi integral-infty^+infty X(j omega) e^j omega t domega
Essa equação serve para reconstruir o sinal no tempo a partir da transformada no domínio da frequência.

Passo 3

Agora, vamos substituir $ X_{1}(j \omega) $ na equação de síntese:
X1(j omega)
Aqui, estamos colocando tudo o que temos dentro da integral.

Passo 4

Aí vem uma coisa legal das funções delta de Dirac! A propriedade que vamos usar é:
integral-infty^+infty de
Ou seja, a integral de uma delta multiplicada por uma função qualquer simplesmente avalia essa função no ponto onde a delta está “puxando” a frequência.

Passo 5

Aplicando essa propriedade a cada termo dentro da nossa integral:
x(t) = 12pi [ pi e^j cdot 0 cdot t + 3pi e^j cdot 3pi t + pi e^j cdot (-2pi) t ]
Note que $ \delta(\omega) $ avaliando em $ \omega = 0 $, $ \delta(\omega - 3\pi) $ em $ \omega = 3\pi $, e $ \delta(\omega + 2\pi) $ em $ \omega = -2\pi $.

Passo 6

Vamos simplificar as exponenciais:
e^j cdot 0 cdot t = 1
Então:
x(t) = 12pi [ pi + 3pi e^j3pi t + pi e^-j2pi t ]

Passo 7

Agora, vamos fatorar o $ \pi $ de cada termo:
pi
Simplificando $ \frac{\pi}{2\pi} $ que é igual a $ \frac{1}{2} $:
x(t) = pi2pi [ 1 + 3 e^j3pi t + e^-j2pi t ]

Resposta

A transformada inversa de Fourier é:
x(t) = 12 [1 + 3, e^j3pi t + e^-j2pi t ]

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