Uma amostra de um mol de gás ideal a 25^{\circ} \mathrm{C} e 10 atm se expande adiabaticamente até que sua pressão caia para 1atm. Sabendo que \gamma=1,4 para esse gás, determine o volume final da amostra.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de n=1 mol de gás ideal à temperatura inicial T_{1}=25^{\circ}\mathrm{C} (ou seja, T_{1}=298{,}15\;\mathrm{K}) e pressão inicial P_{1}=10\;\mathrm{atm}. Esse gás se expande adiabaticamente até a pressão final P_{2}=1\;\mathrm{atm}, sabendo que o coeficiente adiabático é \gamma=1,4. Queremos achar o volume final V_{2}. Vamos usar a lei dos gases ideais para obter V_{1} e, em seguida, a condição adiabática P\,V^{\gamma}=\text{constante}.

Passo 2

Calcular o volume inicial V_{1} pela equação de estado dos gases ideais:
V_{1} \;=\;\frac{n\,R\,T_{1}}{P_{1}}.
Aqui tomamos R=0{,}08206\;\mathrm{L\cdot atm/(mol\cdot K)}, n=1, T_{1}=298{,}15\;\mathrm{K} e P_{1}=10\;\mathrm{atm}. Logo,
V_{1}=\frac{1\cdot0{,}08206\cdot298{,}15}{10}\approx2{,}445\;\mathrm{L}.

Passo 3

Aplicar a condição de expansão adiabática para ligar V_{1} e V_{2}:
P_{1}\,V_{1}^{\gamma}=P_{2}\,V_{2}^{\gamma} \quad\Longrightarrow\quad V_{2}=V_{1}\Bigl(\frac{P_{1}}{P_{2}}\Bigr)^{1/\gamma}.
Substituindo P_{1}/P_{2}=10 e \gamma=1,4,
V_{2}=2{,}445\;\mathrm{L}\times10^{1/1{,}4}.

Passo 4

Calcular numericamente o fator de ampliação:
10^{1/1{,}4}=10^{0{,}7142857}\approx5{,}18,
então
V_{2}\approx2{,}445\times5{,}18\approx12{,}66\;\mathrm{L}.

Resposta

O volume final da amostra é aproximadamente 12{,}7\;\mathrm{L}.

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