Use a equação vetorial obtida para encontrar dois pontos da reta distintos de P_{0}.
Encontre equações vetoriais e paramétricas da reta determinada pelos pontos dados.
(1,1,1) e (0,0,0)

Passo 1

Resumindo: queremos a reta que passa por P_{0}=(1,1,1) e por P_{1}=(0,0,0). O conteúdo é equação vetorial e paramétrica de reta em \mathbb{R}^{3}. Para isso precisamos achar um vetor diretor \mathbf{v} e então escrever
  1. equação vetorial: \mathbf{r}(t)=P_{0}+t\,\mathbf{v},
  2. equação paramétrica: x=x_{0}+t\,v_{1}, y=y_{0}+t\,v_{2}, z=z_{0}+t\,v_{3}.
    Além disso, usaremos essa equação para gerar dois pontos da reta diferentes de P_{0}.

Passo 2

Calcular o vetor diretor como diferença entre os pontos dados:
\mathbf{v} = P_{1}-P_{0} = (0,0,0) - (1,1,1) = (-1,-1,-1).

Passo 3

Montar a equação vetorial usando P_{0}=(1,1,1) e \mathbf{v}=(-1,-1,-1):
\mathbf{r}(t) = (1,1,1) + t\,(-1,-1,-1).

Passo 4

Escolher valores de t que produzam pontos distintos de P_{0}.
  • Para t=1:
\mathbf{r}(1) = (1,1,1) + 1\cdot(-1,-1,-1) = (0,0,0).
  • Para t=-1:
\mathbf{r}(-1) = (1,1,1) + (-1)\cdot(-1,-1,-1) = (2,2,2).
Assim, dois pontos da reta, além de P_{0}, são (0,0,0) e (2,2,2).

Passo 5

Escrever a equação paramétrica:
\begin{cases} x = 1 - t,\\\ y = 1 - t,\\\ z = 1 - t. \end{cases}

Resposta

Pontos distintos de P_{0}: (0,0,0) e (2,2,2).
Equação vetorial:
\mathbf{r}(t) = (1,1,1) + t\,(-1,-1,-1).
Equação paramétrica:
\begin{cases} x = 1 - t,\\\ y = 1 - t,\\\ z = 1 - t. \end{cases}

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