Seja D: C^{\infty}(\mathbb{R}) \rightarrow C^{\infty}(\mathbb{R}) o operador de derivação. Quais são os autovalores e autovetores de D ?

Passo 1

O enunciado define o operador linear
D: C^{\infty}(\mathbb{R}) \to C^{\infty}(\mathbb{R}),\quad Df = f'
e pede os autovalores \lambda e autovetores f tais que
Df = \lambda f.
Para resolver, vamos usar teoria de operadores lineares e resolver a equação diferencial ordinária associada.

Passo 2

A condição de autovalor/autovetor é
Df = \lambda f
ou seja
f'(x) = \lambda\,f(x).
Isto é uma EDO de primeira ordem, que podemos resolver por separação de variáveis.

Passo 3

Separando variáveis, escrevemos
\frac{f'(x)}{f(x)} = \lambda
e integramos em x:
\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \int \lambda\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln|f(x)| = \lambda x + C_1.
Exponenciando, obtemos
f(x) = C\,e^{\lambda x},
onde C = \pm e^{C_1}\neq 0.

Resposta

Os autovalores são todos os \lambda\in\mathbb{R}.
Para cada \lambda, o espaço próprio (autovetores) é dado por
\{\,f(x)=C\,e^{\lambda x}\mid C\neq 0\}.

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