Seja
o operador de derivação. Quais são os autovalores e autovetores de
?
Passo 1
O enunciado define o operador linear
e pede os autovalores
e autovetores
tais que
Para resolver, vamos usar teoria de operadores lineares e resolver a equação diferencial ordinária associada.
Passo 2
A condição de autovalor/autovetor é
ou seja
Isto é uma EDO de primeira ordem, que podemos resolver por separação de variáveis.
Passo 3
Separando variáveis, escrevemos
e integramos em
:
Exponenciando, obtemos
onde
.
Resposta
Os autovalores são todos os
.
Para cada , o espaço próprio (autovetores) é dado por
Para cada