Use a equação vetorial obtida para encontrar dois pontos da reta distintos de P_{0}.
Encontre equações vetoriais e paramétricas da reta determinada pelos pontos dados.
(1,-1,1) e (2,1,1)

Passo 1

O enunciado pede a equação vetorial e a forma paramétrica da reta que passa pelos pontos (1,-1,1) e (2,1,1), além de obter dois pontos dessa reta distintos de P_{0}. O conteúdo é representação de retas em \mathbb{R}^3 usando vetor diretor e parâmetro.

Passo 2

Calcular o vetor diretor \mathbf{v} subtraindo as coordenadas dos pontos:
\mathbf{v} = (2,1,1) - (1,-1,1) = (1,2,0).

Passo 3

Escolhendo P_{0}=(1,-1,1) como ponto-base, a equação vetorial da reta é
\mathbf{r}(t) = (1,-1,1) + t\,(1,2,0).

Passo 4

Para escrever em forma paramétrica, basta decompor componente a componente:
\begin{cases} x = 1 + t,\\\ y = -1 + 2t,\\\ z = 1. \end{cases}

Passo 5

Para obter dois pontos distintos de P_{0}, atribuímos valores de t diferentes de zero. Por exemplo,
para t=1 obtemos (2,1,1)
e para t=-1 obtemos (0,-3,1).

Resposta

[\mathbf{r}(t) = (1,-1,1) + t,(1,2,0))
\begin{cases} x = 1 + t,\\\ y = -1 + 2t,\\\ z = 1 \end{cases}
Dois pontos distintos de P_{0}\]: \((2,1,1) e (0,-3,1).

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