Use a equação vetorial obtida para encontrar dois pontos da reta distintos de P_{0}.
Encontre equações vetoriais e paramétricas da reta determinada pelos pontos dados.
(1,2,3) e (-1,-2,-3)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Encontrar a equação vetorial e as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos P_0=(1,2,3) e P_1=(-1,-2,-3).
  2. Usar essa equação vetorial para obter dois pontos da reta diferentes de P_0.
    Para isso precisamos da definição de reta em \mathbb{R}^3:
\vec r(t) \;=\;\vec r_0 + t\,\vec v,
onde \vec r_0 é um ponto conhecido da reta e \vec v é o vetor direção.

Passo 2

Calcular o vetor direção \vec v subtraindo coordenadas de P_0 e P_1:
\vec v = P_1 - P_0 = (-1,-2,-3) - (1,2,3) = (-2,\,-4,\,-6).

Passo 3

Escrever a equação vetorial da reta usando \vec r_0=(1,2,3) e \vec v=(-2,-4,-6):
\vec r(t) = (1,2,3) + t\,(-2,-4,-6).

Passo 4

Extrair as equações paramétricas a partir de \vec r(t)=(x(t),y(t),z(t)):
x(t)=1-2t,\quad y(t)=2-4t,\quad z(t)=3-6t.

Passo 5

Para obter dois pontos distintos de P_0, basta atribuir dois valores de t diferentes de zero. Por exemplo:
Para t=1:
\vec r(1) = (1-2,\;2-4,\;3-6)=(-1,-2,-3).
Para t=-1:
\vec r(-1) = (1+2,\;2+4,\;3+6)=(3,6,9).

Resposta

A equação vetorial da reta é
\vec r(t) = (1,2,3) + t\,(-2,-4,-6).
As equações paramétricas são
x=1-2t,\quad y=2-4t,\quad z=3-6t.
Dois pontos distintos de P_0 na reta são (-1,-2,-3) (para t=1) e (3,6,9) (para t=-1).

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