Use a equação vetorial obtida para encontrar dois pontos da reta distintos de P_{0}.
Encontre equações vetoriais e paramétricas da reta determinada pelos pontos dados.
(1,2,4) e (3,-1,1)

Passo 1

O enunciado dá dois pontos em \mathbb{R}^3, P_0=(1,2,4) e P_1=(3,-1,1), e pede (a) a equação vetorial da reta que passa por eles, (b) as equações paramétricas correspondentes e (c) dois pontos dessa reta distintos de P_0. O conteúdo é geometria analítica de retas em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Para achar a direção da reta, computamos o vetor \mathbf{v}=P_1-P_0:\r
\mathbf{v}=(3-1,\,-1-2,\,1-4)=(2,\,-3,\,-3).

Passo 3

A equação vetorial da reta, usando P_0 como ponto-base e \mathbf{v} como vetor direção, é\r
\mathbf{r}(t)=\bigl(1,2,4\bigr)+t\,(2,-3,-3).

Passo 4

Separando em coordenadas, as equações paramétricas são\r
\begin{cases} x=1+2t,\\\ y=2-3t,\\\ z=4-3t. \end{cases}

Passo 5

Para obter dois pontos distintos de P_0, basta escolher valores de t diferentes de zero. Por exemplo:
t=1\implies P(1)=\bigl(1+2\cdot 1,\;2-3\cdot 1,\;4-3\cdot 1\bigr)=(3,-1,1), \\\ t=2\implies P(2)=\bigl(1+2\cdot 2,\;2-3\cdot 2,\;4-3\cdot 2\bigr)=(5,-4,-2).

Resposta

Dois pontos da reta distintos de P_0 são (3,-1,1) e (5,-4,-2). \r
A equação vetorial é \r
\mathbf{r}(t)=(1,2,4)+t\,(2,-3,-3),
e as equações paramétricas são
\begin{cases} x=1+2t,\\\ y=2-3t,\\\ z=4-3t. \end{cases}

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