Use a equação vetorial obtida para encontrar dois pontos da reta distintos de P_{0}.
Encontre equações vetoriais e paramétricas da reta determinada pelos pontos dados.
(1,2) e (-5,6)

Passo 1

O enunciado pede a reta que passa pelos pontos P_{0}=(1,2) e P_{1}=(-5,6). Vamos usar o conceito de vetor diretor, equação vetorial e, a partir dela, obter as equações paramétricas. Além disso, escolheremos dois valores de parâmetro para gerar dois pontos da reta distintos de P_{0}.

Passo 2

O vetor diretor \mathbf{d} da reta é dado por
\mathbf{d} = P_{1} - P_{0} = (-5,6) - (1,2) = (-6,4).

Passo 3

A equação vetorial da reta, tomando P_{0} como ponto-base e t\in\mathbb{R} como parâmetro, é
\mathbf{r}(t) = (1,2) + t\,(-6,4).

Passo 4

Distribuindo em componentes, obtemos as equações paramétricas:
\begin{cases} x(t) = 1 - 6\,t,\\\ y(t) = 2 + 4\,t. \end{cases}

Passo 5

Para gerar dois pontos da reta diferentes de P_{0}, escolhemos valores de t\neq0. Por exemplo:
  • Para t=2:
    x(2)=1-6\cdot2=-11,\quad y(2)=2+4\cdot2=10,
    dando o ponto (-11,10).
  • Para t=-1:
    x(-1)=1-6\cdot(-1)=7,\quad y(-1)=2+4\cdot(-1)=-2,
    dando o ponto (7,-2).

Resposta

Equação vetorial:
\mathbf{r}(t) = (1,2) + t\,(-6,4).
Equações paramétricas:
\begin{cases} x = 1 - 6\,t,\\\ y = 2 + 4\,t. \end{cases}
Dois pontos da reta distintos de P_{0} são (-11,10) e (7,-2).

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