Mostre, usando as equações de Cauchy-Riemann, que f^{\prime}(z) não existe em nenhum ponto se:
f(z)=2 x+x y^{2} i

Passo 1

O enunciado dá a função complexa definida por f(z)=2x + x y^{2}\, i, onde z é a variável complexa usualmente escrita como z=x+iy. A tarefa é mostrar que f'(z) não existe em nenhum ponto do plano complexo. \n
Informações relevantes que temos do enunciado:
f(z)=2x + i\,x y^{2}.
Não há outras condições extras fornecidas.

Passo 2

Vamos identificar as partes real e imaginária de f, pois isso é necessário para usar as condições que relacionam derivabilidade complexa com derivadas parciais. Escrevemos
f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y).
Aqui u(x,y) é a parte real e v(x,y) é a parte imaginária (ambas funções reais de x,y). A partir do enunciado temos:
u(x,y)=2x,\qquad v(x,y)=x y^{2}.
Não resolvemos nada ainda, só separamos as componentes (é informação útil para os próximos passos).

Passo 3

Vou relembrar qual condição vamos usar e por que ela é relevante (passo didático). Existe um resultado fundamental: se uma função f é complexamente diferenciável num ponto z_0 então as derivadas parciais de u e v existem em z_0 e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann naquele ponto. As equações de Cauchy–Riemann são
u_x = v_y \qquad\text{e}\qquad u_y = -v_x,
onde u_x é a derivada parcial de u em relação a x, u_y a derivada parcial em relação a y, e de modo análogo para v_x,v_y. Essas igualdades são uma condição necessária (e, se as parciais são contínuas numa vizinhança, também suficiente) para a existência de f'(z). Como as funções que temos são polinomiais em x,y, as derivadas parciais são contínuas, então poderemos usar tanto a necessidade quanto a suficiência: se as Cauchy–Riemann não se verificam num ponto, f não é diferenciável ali; se não se verificam em nenhum ponto, então f' não existe em nenhum ponto.

Passo 4

Agora calculo explicitamente as derivadas parciais de u e v. Vou mostrar como se calcula uma derivada parcial e depois faço as contas (passo bem mastigado). A derivada parcial de u em relação a x é definida por
u_x(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{u(x+h,y)-u(x,y)}{h}.
Como u(x,y)=2x, temos
u_x(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{2(x+h)-2x}{h}=\lim_{h\to0}\frac{2h}{h}=2.
Ou seja,
u_x(x,y)=2\quad\text{para todo }(x,y).
A derivada parcial de u em relação a y é
u_y(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{u(x,y+h)-u(x,y)}{h}.
Como u(x,y)=2x não depende de y, temos
u_y(x,y)=0\quad\text{para todo }(x,y).
Agora v(x,y)=x y^{2}. Calculo v_x e v_y:
v_x(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{v(x+h,y)-v(x,y)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)y^{2}-x y^{2}}{h}=\lim_{h\to0}\frac{h y^{2}}{h}=y^{2}.
Logo
v_x(x,y)=y^{2}\quad\text{para todo }(x,y).
E
v_y(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{v(x,y+h)-v(x,y)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{x(y+h)^{2}-x y^{2}}{h}=\lim_{h\to0}\frac{x(2yh+h^{2})}{h}=2xy.
Portanto
v_y(x,y)=2xy\quad\text{para todo }(x,y).

Passo 5

Agora imponho as equações de Cauchy–Riemann com as derivadas que calculei. As equações exigem:
u_x = v_y \quad\Longrightarrow\quad 2 = 2xy,
e
u_y = -v_x \quad\Longrightarrow\quad 0 = -y^{2}.
Vou resolver essas duas igualdades simultaneamente.

Passo 6

Da segunda equação 0 = -y^{2} segue que y^{2}=0, portanto y=0. Substituindo y=0 na primeira equação 2 = 2xy obtemos
2 = 2x\cdot 0 = 0,
o que é uma contradição (pois 2\neq0). Logo não existe nenhum par (x,y) que satisfaça simultaneamente as duas equações de Cauchy–Riemann. Em outras palavras, as equações de Cauchy–Riemann falham em todos os pontos do plano.

Passo 7

Como as derivadas parciais u_x,u_y,v_x,v_y existem e são polinomiais (logo contínuas) em todo \mathbb{R}^{2}, a condição das equações de Cauchy–Riemann é não só necessária mas também suficiente para a diferenciabilidade complexa local. Visto que as equações de Cauchy–Riemann não se verificam em nenhum ponto, concluímos que f não é complexamente diferenciável em nenhum ponto do plano.

Resposta

f'(z) não existe em nenhum ponto do plano complexo.

Exercícios relacionados