Mostre, usando as equações de Cauchy-Riemann, que
não existe em nenhum ponto se:
Passo 1
O enunciado dá a função complexa definida por
, onde
é a variável complexa usualmente escrita como
. A tarefa é mostrar que
não existe em nenhum ponto do plano complexo. \n
Informações relevantes que temos do enunciado:
Não há outras condições extras fornecidas.
Informações relevantes que temos do enunciado:
Não há outras condições extras fornecidas.
Passo 2
Vamos identificar as partes real e imaginária de
, pois isso é necessário para usar as condições que relacionam derivabilidade complexa com derivadas parciais. Escrevemos
Aqui
é a parte real e
é a parte imaginária (ambas funções reais de
). A partir do enunciado temos:
Não resolvemos nada ainda, só separamos as componentes (é informação útil para os próximos passos).
Passo 3
Vou relembrar qual condição vamos usar e por que ela é relevante (passo didático). Existe um resultado fundamental: se uma função
é complexamente diferenciável num ponto
então as derivadas parciais de
e
existem em
e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann naquele ponto. As equações de Cauchy–Riemann são
onde
é a derivada parcial de
em relação a
,
a derivada parcial em relação a
, e de modo análogo para
. Essas igualdades são uma condição necessária (e, se as parciais são contínuas numa vizinhança, também suficiente) para a existência de
. Como as funções que temos são polinomiais em
, as derivadas parciais são contínuas, então poderemos usar tanto a necessidade quanto a suficiência: se as Cauchy–Riemann não se verificam num ponto,
não é diferenciável ali; se não se verificam em nenhum ponto, então
não existe em nenhum ponto.
Passo 4
Agora calculo explicitamente as derivadas parciais de
e
. Vou mostrar como se calcula uma derivada parcial e depois faço as contas (passo bem mastigado). A derivada parcial de
em relação a
é definida por
Como
, temos
Ou seja,
A derivada parcial de
em relação a
é
Como
não depende de
, temos
Agora
. Calculo
e
:
Logo
E
Portanto
Passo 5
Agora imponho as equações de Cauchy–Riemann com as derivadas que calculei. As equações exigem:
e
Vou resolver essas duas igualdades simultaneamente.
Passo 6
Da segunda equação
segue que
, portanto
. Substituindo
na primeira equação
obtemos
o que é uma contradição (pois
). Logo não existe nenhum par
que satisfaça simultaneamente as duas equações de Cauchy–Riemann. Em outras palavras, as equações de Cauchy–Riemann falham em todos os pontos do plano.
Passo 7
Como as derivadas parciais
existem e são polinomiais (logo contínuas) em todo
, a condição das equações de Cauchy–Riemann é não só necessária mas também suficiente para a diferenciabilidade complexa local. Visto que as equações de Cauchy–Riemann não se verificam em nenhum ponto, concluímos que
não é complexamente diferenciável em nenhum ponto do plano.