Use as equações de Cauchy-Riemann para determinar o conjunto dos pontos onde as funções a seguir são deriváveis. Explicite a derivada
neste conjunto. (Lembre que a derivada, quando existe, satisfaz que
.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: (1) determinar o conjunto dos pontos onde
é derivável; (2) explicitar a derivada
nesse conjunto.
Informações relevantes fornecidas: a expressão de em termos de
e
. Não há outras restrições no enunciado.
Informações relevantes fornecidas: a expressão de
Passo 2
Primeiro vamos separar a parte real e a parte imaginária de
. Escrevemos
e definimos
Vou usar as equações de Cauchy–Riemann (CR) para testar onde
é complexamente diferenciável. Lembrete prático: as equações de CR em coordenadas
são
Além disso, se as derivadas parciais
existem e são contínuas num ponto e satisfazem CR nesse ponto, então
é diferenciável ali.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais de
e
passo a passo, explicando cada diferencial.
Para
:
- derivada em relação a
: tratamos como constante (pois depende só de ) e derivamos . Logo
- derivada em relação a
: agora é constante (depende só de ) e derivamos . Como , temos
Para
:
- derivada em relação a
: é constante e , então
- derivada em relação a
: é constante e , então
Resumo das parciais:
Passo 4
Agora verificamos as equações de Cauchy–Riemann substituindo as parciais encontradas.
Checar
:
são idênticos para todo
. Logo a primeira equação de CR é satisfeita em todos os pontos.
Checar
:
também são idênticos para todo
. Logo a segunda equação de CR é satisfeita em todos os pontos.
Além disso, as quatro derivadas parciais que calculamos são combinações de
,
e
, que são funções suaves (infinitamente diferenciáveis) em todo
; portanto as parciais são contínuas em todo ponto. Assim, pelas condições padrão,
é complexamente diferenciável em todo o plano
.
(Como observação que ajuda a intuição: se você reconhecer que
então
e fica óbvio que é inteira — isto é, diferenciável em todo
. Mas aqui usamos as CR para provar isso passo a passo.)
Passo 5
Calculamos agora a derivada usando a fórmula pedida:
Substituindo as parciais:
Podemos simplificar relacionando com
ou com
. Note que
que coincide com a expressão anterior. Portanto uma forma mais compacta é
Resposta
Conjunto de pontos onde
é derivável:
.
Derivada em todo ponto :
.
Derivada em todo ponto