Use as equações de Cauchy-Riemann para determinar o conjunto dos pontos onde as funções a seguir são deriváveis. Explicite a derivada f^{\prime}(z) neste conjunto. (Lembre que a derivada, quando existe, satisfaz que \left.f^{\prime}(z)=\frac{\partial u}{\partial x}(z)+i \frac{\partial v}{\partial x}(z)\right).
f(x+i y)=e^{-y}(\cos (x)+i \operatorname{sen}(x)).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x+iy)=e^{-y}\big(\cos(x)+i\operatorname{sen}(x)\big)
e pede duas coisas: (1) determinar o conjunto dos pontos onde f é derivável; (2) explicitar a derivada f^{\prime}(z) nesse conjunto.
Informações relevantes fornecidas: a expressão de f em termos de x e y. Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Primeiro vamos separar a parte real e a parte imaginária de f. Escrevemos z=x+iy e definimos
u(x,y)=\text{Re}\,f(x+iy)=e^{-y}\cos(x),
v(x,y)=\text{Im}\,f(x+iy)=e^{-y}\operatorname{sen}(x).
Vou usar as equações de Cauchy–Riemann (CR) para testar onde f é complexamente diferenciável. Lembrete prático: as equações de CR em coordenadas (x,y) são
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \quad\text{e}\quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.
Além disso, se as derivadas parciais u_x,u_y,v_x,v_y existem e são contínuas num ponto e satisfazem CR nesse ponto, então f é diferenciável ali.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de u e v passo a passo, explicando cada diferencial.
Para u(x,y)=e^{-y}\cos(x):
  • derivada em relação a x: tratamos e^{-y} como constante (pois depende só de y) e derivamos \cos(x). Logo
\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)=e^{-y}\cdot\frac{d}{dx}\cos(x)=e^{-y}(-\operatorname{sen}(x))=-e^{-y}\operatorname{sen}(x).
  • derivada em relação a y: agora \cos(x) é constante (depende só de x) e derivamos e^{-y}. Como \frac{d}{dy}e^{-y}=-e^{-y}, temos
\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)=\cos(x)\cdot(-e^{-y})=-e^{-y}\cos(x).
Para v(x,y)=e^{-y}\operatorname{sen}(x):
  • derivada em relação a x: e^{-y} é constante e \frac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)=\cos(x), então
\frac{\partial v}{\partial x}(x,y)=e^{-y}\cos(x).
  • derivada em relação a y: \operatorname{sen}(x) é constante e \frac{d}{dy}e^{-y}=-e^{-y}, então
\frac{\partial v}{\partial y}(x,y)=-e^{-y}\operatorname{sen}(x).
Resumo das parciais:
u_x=-e^{-y}\operatorname{sen}(x),\qquad u_y=-e^{-y}\cos(x),
v_x=e^{-y}\cos(x),\qquad v_y=-e^{-y}\operatorname{sen}(x).

Passo 4

Agora verificamos as equações de Cauchy–Riemann substituindo as parciais encontradas.
Checar \displaystyle u_x = v_y:
u_x=-e^{-y}\operatorname{sen}(x),\qquad v_y=-e^{-y}\operatorname{sen}(x),
são idênticos para todo (x,y). Logo a primeira equação de CR é satisfeita em todos os pontos.
Checar \displaystyle u_y = -v_x:
u_y=-e^{-y}\cos(x),\qquad -v_x=-e^{-y}\cos(x),
também são idênticos para todo (x,y). Logo a segunda equação de CR é satisfeita em todos os pontos.
Além disso, as quatro derivadas parciais que calculamos são combinações de e^{-y}, \operatorname{sen}(x) e \cos(x), que são funções suaves (infinitamente diferenciáveis) em todo \mathbb{R}^2; portanto as parciais são contínuas em todo ponto. Assim, pelas condições padrão, f é complexamente diferenciável em todo o plano \mathbb{C}.
(Como observação que ajuda a intuição: se você reconhecer que
e^{iz}=e^{i(x+iy)}=e^{i x - y}=e^{-y}(\cos x + i\operatorname{sen} x),
então f(z)=e^{iz} e fica óbvio que é inteira — isto é, diferenciável em todo \mathbb{C}. Mas aqui usamos as CR para provar isso passo a passo.)

Passo 5

Calculamos agora a derivada usando a fórmula pedida:
f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)+i\frac{\partial v}{\partial x}(x,y).
Substituindo as parciais:
f'(z)=\big(-e^{-y}\operatorname{sen}(x)\big)+i\big(e^{-y}\cos(x)\big)=e^{-y}\big(-\operatorname{sen}(x)+i\cos(x)\big).
Podemos simplificar relacionando com f ou com e^{iz}. Note que
i\,e^{iz}=i\,e^{-y}(\cos x + i\operatorname{sen} x)=e^{-y}\big(i\cos x + i^2\operatorname{sen} x\big)=e^{-y}\big(-\operatorname{sen} x + i\cos x\big),
que coincide com a expressão anterior. Portanto uma forma mais compacta é
f'(z)=i\,e^{iz}=i\,f(z).

Resposta

Conjunto de pontos onde f é derivável: \mathbb{C}.
Derivada em todo ponto z: f'(z)=i\,e^{iz}=e^{-y}\big(-\operatorname{sen}(x)+i\cos(x)\big).

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