Mostre que, em
, as funções seno e cosseno são periódicas de período
, e as funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico são periódicas de período
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas coisas em
:
- Que
e são funções periódicas de período ; ou seja, provar que, para todo ,
- Que
e são funções periódicas de período ; ou seja, provar que, para todo ,
Informações relevantes que vamos usar (tudo válido em
):
- A exponencial complexa
está definida por sua série de potências convergente para todo . - As funções trigonométricas complexas podem ser dadas pelas fórmulas de Euler:
- As funções hiperbólicas podem ser definidas por:
- Vamos usar também que
. (Isto decorre da identidade para e dos valores .)
Passo 2
Breve explicação de por que as fórmulas exponenciais acima são válidas (aula rápida): a série de
é
Para
com
separamos termos pares e ímpares:
Como
e
, obtemos
Isso justifica a identidade de Euler e, em particular, permite calcular
.
Passo 3
Agora mostro a periodicidade de
e
usando as fórmulas exponenciais. Começo com
. Para todo
:
Usando a propriedade do exponencial
e o fato já explicado
, temos
e de modo análogo
Substituindo na expressão de
obtemos
Portanto
tem período
.
Passo 4
Fazemos o mesmo para
. Para todo
:
Usando as mesmas igualdades
e
, segue
Logo
também é periódica de período
.
Passo 5
Agora tratamos
e
. Relembrando suas definições:
Calculemos
. Usando
e
:
Portanto
tem período
.
Passo 6
Analogamente para
:
Logo
tem período
.