Mostre que, em \mathbb{C}, as funções seno e cosseno são periódicas de período 2 \pi, e as funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico são periódicas de período 2 \pi i.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas coisas em \mathbb{C}:
  1. Que \sin z e \cos z são funções periódicas de período 2\pi; ou seja, provar que, para todo z\in\mathbb{C},
\sin(z+2\pi)=\sin z\quad\text{e}\quad \cos(z+2\pi)=\cos z.
  1. Que \operatorname{sinh} z e \operatorname{cosh} z são funções periódicas de período 2\pi i; ou seja, provar que, para todo z\in\mathbb{C},
\operatorname{sinh}(z+2\pi i)=\operatorname{sinh} z\quad\text{e}\quad \operatorname{cosh}(z+2\pi i)=\operatorname{cosh} z.
Informações relevantes que vamos usar (tudo válido em \mathbb{C}):
  • A exponencial complexa \exp w = e^{w} está definida por sua série de potências convergente para todo w\in\mathbb{C}.
  • As funções trigonométricas complexas podem ser dadas pelas fórmulas de Euler:
\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},\qquad \sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}.
  • As funções hiperbólicas podem ser definidas por:
\operatorname{cosh} z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2},\qquad \operatorname{sinh} z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}.
  • Vamos usar também que e^{i2\pi}=1. (Isto decorre da identidade e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta para \theta\in\mathbb{R} e dos valores \cos 2\pi=1,\\ \sin 2\pi=0.)

Passo 2

Breve explicação de por que as fórmulas exponenciais acima são válidas (aula rápida): a série de e^{w} é
e^{w}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{w^{n}}{n!}.
Para w=i\theta com \theta\in\mathbb{R} separamos termos pares e ímpares:
e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{n}}{n!} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2k}}{(2k)!}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Como (i)^{2k}=(-1)^{k} e (i)^{2k+1}=i(-1)^{k}, obtemos
e^{i\theta}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\theta^{2k}}{(2k)!}+i\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\theta^{2k+1}}{(2k+1)!}=\cos\theta+i\sin\theta.
Isso justifica a identidade de Euler e, em particular, permite calcular e^{i2\pi}=\cos 2\pi+i\sin 2\pi=1.

Passo 3

Agora mostro a periodicidade de \sin e \cos usando as fórmulas exponenciais. Começo com \cos. Para todo z\in\mathbb{C}:
\cos(z+2\pi)=\frac{e^{i(z+2\pi)}+e^{-i(z+2\pi)}}{2}.
Usando a propriedade do exponencial e^{a+b}=e^{a}e^{b} e o fato já explicado e^{i2\pi}=1, temos
e^{i(z+2\pi)}=e^{iz}e^{i2\pi}=e^{iz}\cdot 1=e^{iz},
e de modo análogo
e^{-i(z+2\pi)}=e^{-iz}e^{-i2\pi}=e^{-iz}\cdot 1=e^{-iz}.
Substituindo na expressão de \cos(z+2\pi) obtemos
\cos(z+2\pi)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=\cos z.
Portanto \cos tem período 2\pi.

Passo 4

Fazemos o mesmo para \sin. Para todo z\in\mathbb{C}:
\sin(z+2\pi)=\frac{e^{i(z+2\pi)}-e^{-i(z+2\pi)}}{2i}.
Usando as mesmas igualdades e^{i(z+2\pi)}=e^{iz} e e^{-i(z+2\pi)}=e^{-iz}, segue
\sin(z+2\pi)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=\sin z.
Logo \sin também é periódica de período 2\pi.

Passo 5

Agora tratamos \operatorname{sinh} e \operatorname{cosh}. Relembrando suas definições:
\operatorname{cosh} z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2},\qquad \operatorname{sinh} z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}.
Calculemos \operatorname{cosh}(z+2\pi i). Usando e^{a+b}=e^{a}e^{b} e e^{2\pi i}=1:
\operatorname{cosh}(z+2\pi i)=\frac{e^{z+2\pi i}+e^{-z-2\pi i}}{2} =\frac{e^{z}e^{2\pi i}+e^{-z}e^{-2\pi i}}{2} =\frac{e^{z}\cdot 1+e^{-z}\cdot 1}{2} =\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}=\operatorname{cosh} z.
Portanto \operatorname{cosh} tem período 2\pi i.

Passo 6

Analogamente para \operatorname{sinh}:
\operatorname{sinh}(z+2\pi i)=\frac{e^{z+2\pi i}-e^{-z-2\pi i}}{2} =\frac{e^{z}e^{2\pi i}-e^{-z}e^{-2\pi i}}{2} =\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}=\operatorname{sinh} z.
Logo \operatorname{sinh} tem período 2\pi i.

Resposta

\sin z e \cos z têm período 2\pi.
\operatorname{sinh} z e \operatorname{cosh} z têm período 2\pi i.

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