Use as Equações de Cauchy-Riemann para mostrar que f é diferenciável e encontre o valor de f^prime(z)
f(z)=e^(x^2)e^(y^2) cos (2 x y)+i e^(x^2)e^(y^2) 2 sen(x y) cos (x y)

Passo 1

O enunciado pede para usar as Equações de Cauchy-Riemann para mostrar que a função f(z)=u(x,y)+i,v(x,y) com
u(x,y)=e^x^2-y^2cos(2xy), v(x,y)=e^x^2-y^2,2sin(xy)cos(xy)=e^x^2-y^2sin(2xy)
é diferenciável em C e, em seguida, encontrar f'(z). O conteúdo aqui é verificar as Equações de Cauchy-Riemann e usar derivadas parciais contínuas em R^2.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de u e v usando regra do produto e cadeia:
ux=partialpartial xl(e^x^2-y^2cos(2xy)r)=e^x^2-y^2l(2xcos(2xy)-2ysin(2xy)r),
uy=partialpartial yl(e^x^2-y^2cos(2xy)r)=e^x^2-y^2l(-2ycos(2xy)-2xsin(2xy)r),
vx=partialpartial xl(e^x^2-y^2sin(2xy)r)=e^x^2-y^2l(2xsin(2xy)+2ycos(2xy)r),
vy=partialpartial yl(e^x^2-y^2sin(2xy)r)=e^x^2-y^2l(-2ysin(2xy)+2xcos(2xy)r)

Passo 3

Agora verificamos as Equações de Cauchy-Riemann:
ux=e^x^2-y^2(2xcos2xy-2ysin2xy)=vy,
uy=e^x^2-y^2(-2ycos2xy-2xsin2xy)=-l(2xsin2xy+2ycos2xyr)e^x^2-y^2=-vx
Como as derivadas são contínuas e satisfazem ux=vy e uy=-vx, concluímos que f é diferenciável (holomorfa) em todo C.

Passo 4

Finalmente, o derivado complexo é
f'(z)=ux+i,vx=e^x^2-y^2l(2xcos2xy-2ysin2xyr)+i,e^x^2-y^2l(2xsin2xy+2ycos2xyr)
Observe que
2xcos2xy-2ysin2xy+i(2xsin2xy+2ycos2xy)=(2x+2i y)(cos2xy+isin2xy)=2z,e^i2xy,
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f'(z)=2z,e^x^2-y^2+i2xy=2z,e^z^2

Resposta

f'(z)=2z,e^z^2

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