Use as Equações de Cauchy-Riemann para mostrar que f é diferenciável e encontre o valor de f^prime(z)
f(z)=r(ln r) cos (theta)-theta r sen(theta)+i[theta r cos (theta)+r(ln r) sen(theta)]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que f(z) é diferenciável usando as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas polares e encontrar f'(z), onde f(z)=u(r,theta)+iv(r,theta). Vamos usar as condições partial upartial r=1rpartial vpartialtheta e partial upartialtheta=-rpartial vpartial r.

Passo 2

Identificamos as partes real e imaginária:
u(r,theta)=rln rcostheta-theta,rsintheta,
$$
v(r,\theta)=\theta,r\cos\theta+r\ln r\sin\theta.$$

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
$$
u_r=(\ln r+1)\cos\theta-\theta\sin\theta,\quad u_\theta=-r\bigl((\ln r+1)\sin\theta+\theta\cos\theta\bigr),$$
$$
v_r=(\ln r+1)\sin\theta+\theta\cos\theta,\quad v_\theta=r\bigl((\ln r+1)\cos\theta-\theta\sin\theta\bigr).$$

Passo 4

Verificamos que
ur=1r,vthetae utheta=-r,vr,
o que mostra que as equações de Cauchy–Riemann em polares são satisfeitas e, portanto, f(z) é diferenciável para r>0.

Passo 5

Para encontrar f'(z) usamos a fórmula em coordenadas polares:
$$f’(z)=e^{-i\theta}\bigl(u_r+i,v_r\bigr).
f'(z)=e^-ithetal(ur+i,vrr) u_r+i v_r=e^{i\theta}\bigl(\ln r+1+i\theta\bigr),$$
segue
$$f’(z)=e{-i\theta},e{i\theta}\bigl(\ln r+1+i\theta\bigr)=\ln r+1+i\theta.
$$

Resposta

f'(z)=ln r+1+itheta

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