Use as Equações de Cauchy-Riemann para mostrar que
é diferenciável e encontre o valor de
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é diferenciável usando as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas polares e encontrar
, onde
. Vamos usar as condições
e
.
Passo 2
Identificamos as partes real e imaginária:
$$
v(r,\theta)=\theta,r\cos\theta+r\ln r\sin\theta.$$
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
$$
u_r=(\ln r+1)\cos\theta-\theta\sin\theta,\quad u_\theta=-r\bigl((\ln r+1)\sin\theta+\theta\cos\theta\bigr),$$
$$
v_r=(\ln r+1)\sin\theta+\theta\cos\theta,\quad v_\theta=r\bigl((\ln r+1)\cos\theta-\theta\sin\theta\bigr).$$
Passo 4
Verificamos que
o que mostra que as equações de Cauchy–Riemann em polares são satisfeitas e, portanto,
Passo 5
Para encontrar
usamos a fórmula em coordenadas polares:
$$f’(z)=e^{-i\theta}\bigl(u_r+i,v_r\bigr).
segue
$$f’(z)=e{-i\theta},e{i\theta}\bigl(\ln r+1+i\theta\bigr)=\ln r+1+i\theta.
$$