Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(d)
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(d)
Passo 1
O enunciado pede para estudar a função
: determinar onde ela cresce e decresce, analisar a concavidade e pontos de inflexão, e por fim esboçar seu gráfico. Vamos precisar da primeira e da segunda derivadas e usar o sinal delas para inferir monotonicidade e concavidade.
Passo 2
Para monotonicidade, calculamos
. Definindo
, temos
e
$$
f’(x)=\frac{1}{3}u{-2/3}u’=\frac{2x-3x2}{3\bigl(x^2 - x3\bigr){2/3}}.$$
O denominador é sempre positivo (exceto onde zera), então o sinal de é o sinal de
. Logo:
- para
e para
,
- para
.
Concluímos que:
- decresce em
,
- cresce em
.
O denominador é sempre positivo (exceto onde zera), então o sinal de
-
-
Concluímos que:
-
-
Passo 3
Para concavidade, calculamos
diretamente e obtemos
Note que o numerador é sempre negativo para
e o denominador tem o mesmo sinal de
. Portanto:
-
sempre que , isto é, para (exceto onde dá descontinuidade na derivada), ou seja, concavidade voltada para baixo em , -
para , concavidade para cima em .
A troca de concavidade ocorre em, que é ponto de inflexão.
Passo 4
Para esboçar o gráfico, anotamos:
-
, é o máximo local, - em
temos e derivada indefinida (tangente vertical), - comportamentos assintóticos: para
,
, então a assíntota oblíqua é .
Unindo todas as informações — intervalos de crescimento/decrescimento, concavidade, máximos, inflexão, assíntota — obtemos o esboço pedido: a curva vem deem decaindo, entra em , sobe até , desce novamente até com cusp vertical, depois segue decrescente concavidade para cima aproximando-se de .
Resposta
(1) Cresce em (0, 2/3) e decresce em (−∞, 0)∪(2/3, ∞).
(2) É côncava para baixo em (−∞, 1) e côncava para cima em (1, ∞), com ponto de inflexão em x=1.
(3) O esboço mostra máximo local em x=2/3, cusp em x=1 e assíntota oblíqua y=−x+1/3.
(2) É côncava para baixo em (−∞, 1) e côncava para cima em (1, ∞), com ponto de inflexão em x=1.
(3) O esboço mostra máximo local em x=2/3, cusp em x=1 e assíntota oblíqua y=−x+1/3.