Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(d) f(x)=raiz[3]x^2-x^3

Passo 1

O enunciado pede para estudar a função f(x)=raiz[3]x^2 - x^3: determinar onde ela cresce e decresce, analisar a concavidade e pontos de inflexão, e por fim esboçar seu gráfico. Vamos precisar da primeira e da segunda derivadas e usar o sinal delas para inferir monotonicidade e concavidade.

Passo 2

Para monotonicidade, calculamos f'(x). Definindo u(x)=x^2(1-x), temos f(x)=u^1/3 e
$$
f’(x)=\frac{1}{3}u{-2/3}u’=\frac{2x-3x2}{3\bigl(x^2 - x3\bigr){2/3}}.$$
O denominador é sempre positivo (exceto onde zera), então o sinal de f'(x)=13u^-2/3u'=2x-3x^23l(x^2 - x^3r)^2/3 é o sinal de f'. Logo:
- x(2-3x) para f'(x)<0 e para x<0,
- x>2/3 para f'(x)>0.
Concluímos que:
- 0 decresce em f,
- ( -infty,0)cup(2/3,infty) cresce em f.

Passo 3

Para concavidade, calculamos f''(x) diretamente e obtemos
f''(x)=-2x^29l(x^2(1-x)r)^5/3
Note que o numerador é sempre negativo para xneq0 e o denominador tem o mesmo sinal de x^2(1-x). Portanto:
  • f''(x)<0 sempre que x^2(1-x)>0, isto é, para x<1 (exceto x=0 onde dá descontinuidade na derivada), ou seja, concavidade voltada para baixo em ( -infty,1),
  • f''(x)>0 para x>1, concavidade para cima em (1,infty).
    A troca de concavidade ocorre em x=1, que é ponto de inflexão.

Passo 4

Para esboçar o gráfico, anotamos:
  • f(0)=0, f(2/3)=(4/27)^1/3 é o máximo local,
  • em x=1 temos f(1)=0 e derivada indefinida (tangente vertical),
  • comportamentos assintóticos: para xtopminfty,
    f(x)sim -x+tfrac13, então a assíntota oblíqua é y=-x+tfrac13.
    Unindo todas as informações — intervalos de crescimento/decrescimento, concavidade, máximos, inflexão, assíntota — obtemos o esboço pedido: a curva vem de +infty em xto-infty decaindo, entra em 0,0, sobe até (2/3,(4/27)^1/3), desce novamente até (1,0) com cusp vertical, depois segue decrescente concavidade para cima aproximando-se de y=-x+1/3.

Resposta

(1) Cresce em (0, 2/3) e decresce em (−∞, 0)∪(2/3, ∞).
(2) É côncava para baixo em (−∞, 1) e côncava para cima em (1, ∞), com ponto de inflexão em x=1.
(3) O esboço mostra máximo local em x=2/3, cusp em x=1 e assíntota oblíqua y=−x+1/3.

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