Use a transformada de Laplace para resolver o seguinte PVI:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial com condições iniciais e vamos usar a Transformada de Laplace para achar a solução. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais e a técnica que vamos usar é a Transformada de Laplace, que transforma equações no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada segunda, $ y’’ $, é $ s^2 Y(s) - s y(0) - y’(0) $, e a transformada da primeira derivada, $ y’ $, é $ s Y(s) - y(0) $. Já a transformada de $ y $ é simplesmente $ Y(s) $. Para o lado direito, a transformada de 1 é $ \frac{1}{s} $ e a de $ e^{-t} $ é $ \frac{1}{s+1} $.
Passo 3
Vamos substituir essas transformadas na equação:
Dado que $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $, substituindo esses valores:
Passo 4
Agora, vamos agrupar os termos com $ Y(s) $:
Isolando $ Y(s) $:
Passo 5
Vamos simplificar o denominador que é um polinômio quadrático. Observamos que:
Então, reescrevendo $ Y(s) $:
Vamos combinar os termos no numerador:
Passo 6
Agora, precisamos realizar a decomposição em frações parciais para facilitar a aplicação da Transformada de Laplace inversa. Após decompor e simplificar, obtemos:
Passo 7
Aplicando a Transformada de Laplace inversa em cada termo:
Sabendo que:
Resposta
Finalmente, juntando tudo: