Use a transformada de Laplace para resolver o seguinte PVI:
c y^prime prime-2 y^prime+y=1+e^-t y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial com condições iniciais e vamos usar a Transformada de Laplace para achar a solução. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais e a técnica que vamos usar é a Transformada de Laplace, que transforma equações no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada segunda, $ y’’ $, é $ s^2 Y(s) - s y(0) - y’(0) $, e a transformada da primeira derivada, $ y’ $, é $ s Y(s) - y(0) $. Já a transformada de $ y $ é simplesmente $ Y(s) $. Para o lado direito, a transformada de 1 é $ \frac{1}{s} $ e a de $ e^{-t} $ é $ \frac{1}{s+1} $.

Passo 3

Vamos substituir essas transformadas na equação:
s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) - 2 [s Y(s) - y(0)] + Y(s) = 1s + 1s+1
Dado que $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $, substituindo esses valores:
y(0) = 1

Passo 4

Agora, vamos agrupar os termos com $ Y(s) $:
Y(s)
Isolando $ Y(s) $:
(s^2 - 2s + 1) Y(s) - s + 2 = 1s + 1s+1

Passo 5

Vamos simplificar o denominador que é um polinômio quadrático. Observamos que:
s^2 - 2s + 1 = (s-1)^2
Então, reescrevendo $ Y(s) $:
Y(s)
Vamos combinar os termos no numerador:
Y(s) = 1s + 1s+1 + s - 2(s-1)^2

Passo 6

Agora, precisamos realizar a decomposição em frações parciais para facilitar a aplicação da Transformada de Laplace inversa. Após decompor e simplificar, obtemos:
Y(s) = 1s(s-1) + 1(s-1)^2 + 1s+1

Passo 7

Aplicando a Transformada de Laplace inversa em cada termo:
y(t) = L^-11s(s-1) + L^-11(s-1)^2 + L^-11s+1
Sabendo que:
L^-11s(s-1) = 1 - e^t
L^-11(s-1)^2 = t e^t
L^-11s+1 = e^-t

Resposta

Finalmente, juntando tudo:
y(t) = 1 - e^t + t e^t + e^-t

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