Use escalonamento para classificar (quanto a S I, S P D ou S P I ), os sistemas abaixo e apresente o conjunto solução quando existir:
\left\{\begin{array}{l}x+y=5 \\\\ -x-y=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: classificar o sistema quanto a S I, S P D ou S P I e apresentar o conjunto solução quando existir. As informações dadas são exatamente as duas equações:
\begin{cases} x+y=5,\\[4pt] -x-y=2. \end{cases}]

Passo 2

Vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada para aplicar escalonamento (cada linha corresponde a uma equação, as duas primeiras colunas são os coeficientes de x e y e a última coluna é o termo independente):
\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 5\\[4pt] -1 & -1 & 2 \end{array}\right).
Explicando: a primeira linha vem de \;x+y=5\; e a segunda de \;-x-y=2\;.]

Passo 3

Lembrete rápido sobre operações elementares de linha (que não mudam o conjunto de soluções):
  1. trocar duas linhas; 2) multiplicar uma linha por escalar não nulo; 3) somar a uma linha um múltiplo de outra. Aqui usaremos a operação R_2 \leftarrow R_2 + R_1 (somar a linha 1 à linha 2) para eliminar as variáveis na segunda linha.

Passo 4

Aplicando R_2 \leftarrow R_2 + R_1 na matriz aumentada obtemos:
\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 5\\[4pt] -1+1 & -1+1 & 2+5 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 5\\[4pt] 0 & 0 & 7 \end{array}\right).
Fiz as somas termo a termo: -1+1=0, -1+1=0, 2+5=7.]

Passo 5

Interpretação da segunda linha escalonada: ela representa a equação
0\cdot x + 0\cdot y = 7,
ou seja simplesmente 0=7. Isso é uma contradição impossível.

Passo 6

Critério geral (que aprenda para a prova): se durante o escalonamento aparece uma linha da forma
\underbrace{0,\;0,\;\dots,\;0}_{\text{coeficientes}} \;|\; b
com b\neq 0, então o sistema é impossível — não existe nenhum par (x,y) que satisfaça todas as equações simultaneamente. Aqui isso aconteceu com b=7.

Passo 7

Conclusão final: como temos a contradição 0=7, o sistema não tem solução. No vocabulário pedido, isso significa que o sistema é classificado como S I (Sistema Impossível). O conjunto solução é o conjunto vazio.

Resposta

S I
\varnothing

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