Use escalonamento para classificar (quanto a S I, S P D ou S P I ), os sistemas abaixo e apresente o conjunto solução quando existir: \left\{\begin{array}{l}x+y-10=0 \\\ x-z-5=0 \\\ y-z-3=0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede que a gente classifique o sistema quanto a SI\) (impossível), \(SPD\) (possível e determinado, solução única) ou \(SPI\) (possível e indeterminado, infinitas soluções) e que apresente o conjunto solução quando ele existir.\\
As equações fornecidas são:
\[\begin{cases} x+y-10=0\\[4pt] x-z-5=0\\[4pt] y-z-3=0 \end{cases}
Listei todas as informações dadas: há três incógnitas (x,y,z] e três equações lineares explicitadas acima. A próxima etapa é aplicar escalonamento (eliminação por linhas) para verificar consistência e obter a solução.]
Passo 2
Montamos a matriz aumentada do sistema. Primeiro escrevemos cada equação na forma \text{(coeficientes)} \mid \text{termo independente}. As equações são equivalentes a x+y=10, x-z=5 e y-z=3. A matriz aumentada é
Vou usar operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar linha por escalares não-nulos, somar múltiplos de uma linha a outra). Essas operações preservam o conjunto solução.]
Passo 3
Eliminamos o elemento x na linha 2 usando a linha 1. Faço a operação
Os pivôs são as entradas 1 na diagonal de cada linha: coluna x na linha 1, coluna y na linha 2, coluna z na linha 3. Temos pivô em cada uma das três colunas correspondentes às incógnitas.]
Passo 6
Agora fazemos substituição regressiva (back-substitution) para encontrar as incógnitas a partir da forma escalonada superior:
Da linha 3 (terceira equação escalonada) temos
\;z=1.
Da linha 2 temos
\;y+z=5.
Substituindo z=1 obtemos
\;y+1=5\quad\Rightarrow\quad y=4.
Da linha 1 temos
\;x+y=10.
Substituindo y=4 obtemos
\;x+4=10\quad\Rightarrow\quad x=6.
Passo 7
Interpretando o resultado: obtivemos um pivô em cada coluna das incógnitas (três pivôs para três incógnitas) e não apareceu nenhuma equação contradictória do tipo 0= c com c\neq 0. Isso significa que o sistema é compatível e determinado (solução única).