Use escalonamento para classificar (quanto a S I, S P D ou S P I ), os sistemas abaixo e apresente o conjunto solução quando existir:
\left\{\begin{array}{l}x+y-10=0 \\\ x-z-5=0 \\\ y-z-3=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que a gente classifique o sistema quanto a SI\) (impossível), \(SPD\) (possível e determinado, solução única) ou \(SPI\) (possível e indeterminado, infinitas soluções) e que apresente o conjunto solução quando ele existir.\\ As equações fornecidas são: \[\begin{cases} x+y-10=0\\[4pt] x-z-5=0\\[4pt] y-z-3=0 \end{cases}
Listei todas as informações dadas: há três incógnitas (x,y,z] e três equações lineares explicitadas acima. A próxima etapa é aplicar escalonamento (eliminação por linhas) para verificar consistência e obter a solução.]

Passo 2

Montamos a matriz aumentada do sistema. Primeiro escrevemos cada equação na forma \text{(coeficientes)} \mid \text{termo independente}. As equações são equivalentes a x+y=10, x-z=5 e y-z=3. A matriz aumentada é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 10\\[4pt] 1 & 0 & -1 & 5\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 3 \end{array}\right].
Vou usar operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar linha por escalares não-nulos, somar múltiplos de uma linha a outra). Essas operações preservam o conjunto solução.]

Passo 3

Eliminamos o elemento x na linha 2 usando a linha 1. Faço a operação
R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1}.
Calculemos cada entrada de R_{2}:
  • primeira coluna: 1-1=0,
  • segunda coluna: 0-1=-1,
  • terceira coluna: -1-0=-1,
  • termo independente: 5-10=-5.
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 10\\[4pt] 0 & -1 & -1 & -5\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 3 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora eliminamos o y da linha 3 somando a linha 2 (porque R_2 tem -1 na coluna y e R_3 tem 1). Faço
R_{3}\leftarrow R_{3}+R_{2}.
Calculando:
  • primeira coluna: 0+0=0,
  • segunda coluna: 1+(-1)=0,
  • terceira coluna: -1+(-1)=-2,
  • termo independente: 3+(-5)=-2.
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 10\\[4pt] 0 & -1 & -1 & -5\\[4pt] 0 & 0 & -2 & -2 \end{array}\right].]

Passo 5

Para facilitar a leitura dos pivôs, escalonamos as linhas para pivôs iguais a 1. Primeiro multiplico R_{2} por -1:
R_{2}\leftarrow -1\cdot R_{2}\quad\Rightarrow\quad R_{2}=(0\;1\;1\mid 5).
Depois divido R_{3} por -2:
R_{3}\leftarrow \frac{1}{-2}R_{3}\quad\Rightarrow\quad R_{3}=(0\;0\;1\mid 1).
Agora a matriz é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 10\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 5\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right].
Os pivôs são as entradas 1 na diagonal de cada linha: coluna x na linha 1, coluna y na linha 2, coluna z na linha 3. Temos pivô em cada uma das três colunas correspondentes às incógnitas.]

Passo 6

Agora fazemos substituição regressiva (back-substitution) para encontrar as incógnitas a partir da forma escalonada superior:
Da linha 3 (terceira equação escalonada) temos
\;z=1.
Da linha 2 temos
\;y+z=5.
Substituindo z=1 obtemos
\;y+1=5\quad\Rightarrow\quad y=4.
Da linha 1 temos
\;x+y=10.
Substituindo y=4 obtemos
\;x+4=10\quad\Rightarrow\quad x=6.

Passo 7

Interpretando o resultado: obtivemos um pivô em cada coluna das incógnitas (três pivôs para três incógnitas) e não apareceu nenhuma equação contradictória do tipo 0= c com c\neq 0. Isso significa que o sistema é compatível e determinado (solução única).

Resposta

SPD
x=6,\;y=4,\;z=1

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