Use escalonamento para classificar (quanto a S I, S P D ou S P I ), os sistemas abaixo e apresente o conjunto solução quando existir:
\left\{\begin{array}{l}2 a-b+c=3 \\\ a-b+2 c=3 \\\ a+b+c=6\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} 2a-b+c=3\\[4pt] a-b+2c=3\\[4pt] a+b+c=6 \end{cases}
O que nos pedem:
  1. classificar o sistema quanto a \mathrm{SI}, \mathrm{SPD} ou \mathrm{SPI};\n2) apresentar o conjunto solução quando ele existir.
Informações relevantes: são três equações com três incógnitas \;a,b,c\; e os termos independentes são 3,3,6.]

Passo 2

Vou usar o método do escalonamento (eliminação de Gauss). Vou explicar rapidamente o que isso significa de forma prática:
  • Representamos o sistema por uma matriz aumentada (coeficientes + termos independentes).\n- Aplicamos operações elementares sobre as linhas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar a uma linha um múltiplo de outra. Essas operações não mudam o conjunto solução.\n- O objetivo é obter uma matriz triangular superior (escalonada) para depois fazer substituição regressiva (back-substitution).\n- Se ao escalonar aparecer uma equação do tipo 0=\,\text{não zero}ã então o sistema é \mathrm{SI}. Se obtivermos pivôs em todas as incógnitas (rank = número de incógnitas) então é \mathrm{SPD}. Se o rank for menor que o número de incógnitas e não houver inconsistência, é \mathrm{SPI}.

Passo 3

Escrevo a matriz aumentada inicial do sistema (coeficientes e coluna dos termos independentes):
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 1 & 3\\[4pt] 1 & -1 & 2 & 3\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 6 \end{array}\right]]

Passo 4

Para facilitar, troco a linha 1 com a linha 2 (colocar um 1 no pivô superior é mais simples):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 3\\[4pt] 2 & -1 & 1 & 3\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 6 \end{array}\right]]

Passo 5

Elimino os elementos abaixo do pivô da primeira coluna.
Faço L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1 e L_3 \leftarrow L_3 - L_1.
Cálculo de L_2 - 2L_1:
\begin{array}{rcl} 2-2\cdot1 &=& 0,\\[4pt] -1-2\cdot(-1) &=& -1+2=1,\\[4pt] 1-2\cdot2 &=& 1-4=-3,\\[4pt] 3-2\cdot3 &=& 3-6=-3. \end{array}
Cálculo de L_3 - L_1:
\begin{array}{rcl} 1-1 &=& 0,\\[4pt] 1-(-1) &=& 2,\\[4pt] 1-2 &=& -1,\\[4pt] 6-3 &=& 3. \end{array}
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 1 & -3 & -3\\[4pt] 0 & 2 & -1 & 3 \end{array}\right]]

Passo 6

Agora uso o pivô da segunda linha (que já é 1) para eliminar o elemento abaixo dele na coluna 2.
Faço L_3 \leftarrow L_3 - 2L_2.
Cálculo de L_3 - 2L_2:
\begin{array}{rcl} 0-2\cdot0 &=& 0,\\[4pt] 2-2\cdot1 &=& 0,\\[4pt] -1-2\cdot(-3) &=& -1+6=5,\\[4pt] 3-2\cdot(-3) &=& 3+6=9. \end{array}
A matriz escalonada fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 1 & -3 & -3\\[4pt] 0 & 0 & 5 & 9 \end{array}\right]]

Passo 7

A terceira linha representa a equação 5c=9. Logo calculo c:
c=\frac{9}{5}.
Expliquei: aqui tivemos um pivô não nulo na terceira coluna, então temos uma equação direta para c.

Passo 8

Volto à segunda linha para encontrar b. A segunda linha dá b-3c=-3. Substituo c=\dfrac{9}{5}:
b-3\cdot\frac{9}{5}=-3.
Calculo passo a passo:
3\cdot\frac{9}{5}=\frac{27}{5},\qquad -3=\frac{-15}{5}.
Logo
b-\frac{27}{5}=\frac{-15}{5}\implies b=\frac{-15}{5}+\frac{27}{5}=\frac{12}{5}.

Passo 9

Agora uso a primeira linha para encontrar a. A primeira linha é a-b+2c=3. Substituo b=\dfrac{12}{5} e c=\dfrac{9}{5}:
a-\frac{12}{5}+2\cdot\frac{9}{5}=3.
Calculo:
2\cdot\frac{9}{5}=\frac{18}{5},\qquad -\frac{12}{5}+\frac{18}{5}=\frac{6}{5}.
Portanto
a+\frac{6}{5}=3=\frac{15}{5}\implies a=\frac{15}{5}-\frac{6}{5}=\frac{9}{5}.

Passo 10

Interpretação final (classificação): durante o escalonamento obtivemos pivôs não nulos em todas as três colunas de incógnitas (há três pivôs), e não apareceu nenhuma linha inconsistente. Assim o posto (rank) da matriz de coeficientes é 3, igual ao número de incógnitas 3. Portanto o sistema é possível e determinado ( \mathrm{SPD}) e tem solução única.

Resposta

\mathrm{SPD}
\displaystyle (a,b,c)=\left(\frac{9}{5},\frac{12}{5},\frac{9}{5}\right)

Exercícios relacionados