Use escalonamento para classificar (quanto a S I, S P D ou S P I ), os sistemas abaixo e apresente o conjunto solução quando existir:
\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & -1 & 0 \\\\ 3 & -4 & 5 & 10 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede que eu use escalonamento para classificar o sistema quanto a SI, SPD ou SPI e, quando existir solução, apresentar o conjunto solução. As informações dadas são as linhas da matriz aumentada do sistema (coeficientes e termo independente):
\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 & 0\\[4pt] 3 & -4 & 5 & 10\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right).
Isso corresponde a um sistema com três incógnitas que chamarei de (x_1,x_2,x_3), onde a primeira coluna é os coeficientes de x_1, a segunda de x_2, a terceira de x_3 e a quarta é o vetor dos termos independentes.]

Passo 2

Vou usar escalonamento (eliminação por operações elementares por linhas). Antes de começar, algumas ferramentas que vou usar (explicação didática):
  • Operações elementares permitidas sobre linhas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por número não nulo, e somar múltiplo de uma linha a outra. Essas operações não mudam o conjunto de soluções do sistema.
  • Objetivo do escalonamento: obter uma matriz triangular (ou a forma reduzida) para identificar pivôs e resolver por substituição regressiva.
  • Critério de classificação:
    • Se \operatorname{rank}(A)\neq\operatorname{rank}([A|b]) então o sistema é impossível (SI).
    • Se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|b])=n (número de incógnitas) então existe solução única (SPD).
    • Se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|b])<n então existem infinitas soluções (SPI).
      Aqui A é a matriz dos coeficientes (colunas 1 a 3) e [A|b] é a matriz aumentada (as 4 colunas).

Passo 3

Escrevo a matriz aumentada inicial explicitamente como sistema de linhas:
\begin{array}{rcl} L_1 &=& (1\;\;2\;\;-1\;\;|\;\;0),\\[4pt] L_2 &=& (3\;\;-4\;\;5\;\;|\;\;10),\\[4pt] L_3 &=& (1\;\;1\;\;1\;\;|\;\;1). \end{array}]

Passo 4

Eliminação usando L_1 como primeiro pivô (entrada 1 da primeira linha). Quero zerar as entradas abaixo do pivô na coluna 1:
  • Faço \;L_2 \leftarrow L_2 - 3L_1.) Calculo cada componente:
    • Coluna 1: 3-3\cdot1=0.
    • Coluna 2: -4-3\cdot2=-4-6=-10.
    • Coluna 3: 5-3\cdot(-1)=5+3=8.
    • Termo independente: 10-3\cdot0=10.
      Logo L_2=(0\;\;-10\;\;8\;\;|\;\;10).
  • Faço \;L_3 \leftarrow L_3 - L_1.) Calculo:
    • Coluna 1: 1-1=0.
    • Coluna 2: 1-2=-1.
    • Coluna 3: 1-(-1)=2.
    • Termo independente: 1-0=1.
      Logo L_3=(0\;\;-1\;\;2\;\;|\;\;1).
A matriz após essas operações fica
\begin{array}{rcl} L_1 &=& (1\;\;2\;\;-1\;\;|\;\;0),\\[4pt] L_2 &=& (0\;\;-10\;\;8\;\;|\;\;10),\\[4pt] L_3 &=& (0\;\;-1\;\;2\;\;|\;\;1). \end{array}]

Passo 5

Agora uso L_2 (entrada -10) como segundo pivô para zerar a entrada em L_3 na coluna 2. O fator para eliminar é \dfrac{-1}{-10}=\dfrac{1}{10}. Faço \;L_3 \leftarrow L_3 - \tfrac{1}{10}L_2.
Calculemos componente a componente com frações:
  • Coluna 1: 0-\tfrac{1}{10}\cdot0=0.
  • Coluna 2: -1-\tfrac{1}{10}\cdot(-10)=-1+1=0.
  • Coluna 3: 2-\tfrac{1}{10}\cdot8 = 2-\tfrac{8}{10}=2-\tfrac{4}{5}=\tfrac{10}{5}-\tfrac{4}{5}=\tfrac{6}{5}.
  • Termo independente: 1-\tfrac{1}{10}\cdot10=1-1=0.
    Assim L_3=(0\;\;0\;\;\tfrac{6}{5}\;\;|\;\;0).
A matriz agora é
\begin{array}{rcl} L_1 &=& (1\;\;2\;\;-1\;\;|\;\;0),\\[4pt] L_2 &=& (0\;\;-10\;\;8\;\;|\;\;10),\\[4pt] L_3 &=& \left(0\;\;0\;\;\tfrac{6}{5}\;\;|\;\;0\right). \end{array}]

Passo 6

Observo que a terceira linha tem entrada \tfrac{6}{5} na coluna 3 com termo independente 0. Posso escalar L_3 para obter pivô 1 na coluna 3: faço \;L_3 \leftarrow \dfrac{5}{6}L_3. Então
L_3=(0\;\;0\;\;1\;\;|\;\;0).
A matriz fica
\begin{array}{rcl} L_1 &=& (1\;\;2\;\;-1\;\;|\;\;0),\\[4pt] L_2 &=& (0\;\;-10\;\;8\;\;|\;\;10),\\[4pt] L_3 &=& (0\;\;0\;\;1\;\;|\;\;0). \end{array}]

Passo 7

Agora faço eliminação acima do pivô da terceira coluna para zerar as entradas em cima:
  • Para L_1 a entrada na coluna 3 é -1. Faço \;L_1 \leftarrow L_1 + 1\cdot L_3.) Então
    • Coluna 1: 1+0=1.
    • Coluna 2: 2+0=2.
    • Coluna 3: -1+1=0.
    • Termo independente: 0+0=0.
      Logo L_1=(1\;\;2\;\;0\;\;|\;\;0).
  • Para L_2 a entrada na coluna 3 é 8. Faço \;L_2 \leftarrow L_2 - 8\cdot L_3.) Então
    • Coluna 1: 0-8\cdot0=0.
    • Coluna 2: -10-8\cdot0=-10.
    • Coluna 3: 8-8\cdot1=0.
    • Termo independente: 10-8\cdot0=10.
      Logo L_2=(0\;\;-10\;\;0\;\;|\;\;10).
A matriz passa a ser
\begin{array}{rcl} L_1 &=& (1\;\;2\;\;0\;\;|\;\;0),\\[4pt] L_2 &=& (0\;\;-10\;\;0\;\;|\;\;10),\\[4pt] L_3 &=& (0\;\;0\;\;1\;\;|\;\;0). \end{array}]

Passo 8

Escalo L_2 para obter pivô 1 na coluna 2: faço \;L_2 \leftarrow -\tfrac{1}{10}L_2. Assim
L_2=(0\;\;1\;\;0\;\;|\;\;-1).
Agora elimino a entrada acima em L_1 na coluna 2: faço \;L_1 \leftarrow L_1 - 2L_2.
Calcule:
  • Coluna 1: 1-2\cdot0=1.
  • Coluna 2: 2-2\cdot1=0.
  • Coluna 3: 0-2\cdot0=0.
  • Termo independente: 0-2\cdot(-1)=0+2=2.
    Logo L_1=(1\;\;0\;\;0\;\;|\;\;2).
Agora a matriz está na forma reduzida:
\begin{array}{rcl} L_1 &=& (1\;\;0\;\;0\;\;|\;\;2),\\[4pt] L_2 &=& (0\;\;1\;\;0\;\;|\;\;-1),\\[4pt] L_3 &=& (0\;\;0\;\;1\;\;|\;\;0). \end{array}]

Passo 9

Da forma reduzida vemos claramente que há pivôs em todas as três colunas de coeficientes, ou seja \operatorname{rank}(A)=3. A matriz aumentada também tem o mesmo número de pivôs, então \operatorname{rank}([A|b])=3. Como o número de incógnitas é n=3 e os ranks são iguais a 3, estamos no caso
\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|b])=n,
portanto o sistema é possível e determinado (SPD) — existe uma única solução. A leitura direta da matriz reduzida dá:
x_1=2,\quad x_2=-1,\quad x_3=0.

Resposta

SPD
(x_1,x_2,x_3)=(2,-1,0)

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