Use escalonamento para classificar (quanto a S I, S P D ou S P I ), os sistemas abaixo e apresente o conjunto solução quando existir: \left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & -1 & 0 \\\\ 3 & -4 & 5 & 10 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado pede que eu use escalonamento para classificar o sistema quanto a SI, SPD ou SPI e, quando existir solução, apresentar o conjunto solução. As informações dadas são as linhas da matriz aumentada do sistema (coeficientes e termo independente):
Isso corresponde a um sistema com três incógnitas que chamarei de (x_1,x_2,x_3), onde a primeira coluna é os coeficientes de x_1, a segunda de x_2, a terceira de x_3 e a quarta é o vetor dos termos independentes.]
Passo 2
Vou usar escalonamento (eliminação por operações elementares por linhas). Antes de começar, algumas ferramentas que vou usar (explicação didática):
Operações elementares permitidas sobre linhas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por número não nulo, e somar múltiplo de uma linha a outra. Essas operações não mudam o conjunto de soluções do sistema.
Objetivo do escalonamento: obter uma matriz triangular (ou a forma reduzida) para identificar pivôs e resolver por substituição regressiva.
Critério de classificação:
Se \operatorname{rank}(A)\neq\operatorname{rank}([A|b]) então o sistema é impossível (SI).
Se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|b])=n (número de incógnitas) então existe solução única (SPD).
Se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|b])<n então existem infinitas soluções (SPI).
Aqui A é a matriz dos coeficientes (colunas 1 a 3) e [A|b] é a matriz aumentada (as 4 colunas).
Passo 3
Escrevo a matriz aumentada inicial explicitamente como sistema de linhas:
Agora uso L_2 (entrada -10) como segundo pivô para zerar a entrada em L_3 na coluna 2. O fator para eliminar é \dfrac{-1}{-10}=\dfrac{1}{10}. Faço \;L_3 \leftarrow L_3 - \tfrac{1}{10}L_2.
Calculemos componente a componente com frações:
Observo que a terceira linha tem entrada \tfrac{6}{5} na coluna 3 com termo independente 0. Posso escalar L_3 para obter pivô 1 na coluna 3: faço \;L_3 \leftarrow \dfrac{5}{6}L_3. Então
Da forma reduzida vemos claramente que há pivôs em todas as três colunas de coeficientes, ou seja \operatorname{rank}(A)=3. A matriz aumentada também tem o mesmo número de pivôs, então \operatorname{rank}([A|b])=3. Como o número de incógnitas é n=3 e os ranks são iguais a 3, estamos no caso