Use escalonamento para classificar (quanto a
ou
), os sistemas abaixo e apresente o conjunto solução quando existir:
Passo 1
O enunciado pede que eu use escalonamento para: (1) classificar o sistema linear quanto a
,
ou
; (2) apresentar o conjunto solução quando existir. O sistema dado é:
Vou trabalhar com essas duas equações e os coeficientes mostrados acima.]
Passo 2
Explicando rapidamente o que é “escalonamento” (para você poder aplicar na prova): escalonamento é transformar o sistema por operações elementares de linha até obter uma forma em que fica fácil ler as incógnitas. Operações elementares permitidas (que preservam as soluções) são:
O objetivo é obter uma equação “triangular” (uma equação com menos incógnitas) e depois resolver por substituição regressiva. Também podemos usar o determinante da matriz de coeficientes: se
então o sistema é
(única solução).
Passo 3
Escrevo a matriz aumentada do sistema para visualizar:
Cada linha corresponde a uma equação: primeira linha é
e segunda é
.]
Passo 4
Vou eliminar
da primeira linha usando a segunda. Faço a operação
(isto é soma da primeira linha com
vezes a segunda). Calculo termo a termo:
Então a matriz aumentada vira
que corresponde ao sistema
Passo 5
Da primeira equação escalonada
eu encontro
. Divido ambos os lados por
:
Expliquei: dividir por
é válido porque
.
Passo 6
Substituo
na segunda equação original (ou na escalonada) para achar
:
Assim
Passo 7
Concluo que há uma única solução
. Justifico também com determinante (argumento curto que você pode usar na prova quando quiser confirmar rapidamente): a matriz de coeficientes é
e
Como
, o sistema é
(possível e determinado) e tem exatamente uma solução.]
Resposta
Classificação: SPD (sistema possível e determinado)
Conjunto solução:
Conjunto solução: