Use escalonamento para classificar (quanto a S I, S P D ou S P I ), os sistemas abaixo e apresente o conjunto solução quando existir:
\left\{\begin{array}{l}3 x-4 y=1 \\\ x+3 y=9\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que eu use escalonamento para: (1) classificar o sistema linear quanto a \text{SI}, \text{SPD} ou \text{SPI}; (2) apresentar o conjunto solução quando existir. O sistema dado é:
\begin{cases} 3x-4y=1\\[4pt] x+3y=9 \end{cases}
Vou trabalhar com essas duas equações e os coeficientes mostrados acima.]

Passo 2

Explicando rapidamente o que é “escalonamento” (para você poder aplicar na prova): escalonamento é transformar o sistema por operações elementares de linha até obter uma forma em que fica fácil ler as incógnitas. Operações elementares permitidas (que preservam as soluções) são:
\text{(i)}\\ \text{trocar duas equações},\qquad \text{(ii)}\\ \text{multiplicar uma equação por um escalar não nulo},\qquad \text{(iii)}\\ \text{somar a uma equação um múltiplo de outra}.çõçããçãú
O objetivo é obter uma equação “triangular” (uma equação com menos incógnitas) e depois resolver por substituição regressiva. Também podemos usar o determinante da matriz de coeficientes: se \det\neq0 então o sistema é \text{SPD} (única solução).

Passo 3

Escrevo a matriz aumentada do sistema para visualizar:
\left[\begin{array}{cc|c} 3 & -4 & 1\\[4pt] 1 & 3 & 9 \end{array}\right]
Cada linha corresponde a uma equação: primeira linha é \;3x-4y=1\; e segunda é \;x+3y=9\;.]

Passo 4

Vou eliminar x da primeira linha usando a segunda. Faço a operação \;R_1 \leftarrow R_1 - 3R_2\; (isto é soma da primeira linha com -3 vezes a segunda). Calculo termo a termo:
\begin{array}{l} \text{coeficiente de }x:\; 3 - 3\cdot 1 = 0,\\[4pt] \text{coeficiente de }y:\; -4 - 3\cdot 3 = -4 -9 = -13,\\[4pt] \text{termo independente}:\; 1 - 3\cdot 9 = 1 -27 = -26. \end{array}
Então a matriz aumentada vira
\left[\begin{array}{cc|c} 0 & -13 & -26\\[4pt] 1 & 3 & 9 \end{array}\right]
que corresponde ao sistema
\begin{cases} -13y = -26\\[4pt] x + 3y = 9 \end{cases}]

Passo 5

Da primeira equação escalonada -13y=-26 eu encontro y. Divido ambos os lados por -13:
y = \frac{-26}{-13} = 2.
Expliquei: dividir por -13 é válido porque -13\neq0.

Passo 6

Substituo \;y=2\; na segunda equação original (ou na escalonada) para achar x:
x + 3y = 9 \quad\Rightarrow\quad x + 3\cdot 2 = 9 \quad\Rightarrow\quad x + 6 = 9.
Assim
x = 9 - 6 = 3.

Passo 7

Concluo que há uma única solução (x,y)=(3,2). Justifico também com determinante (argumento curto que você pode usar na prova quando quiser confirmar rapidamente): a matriz de coeficientes é
A=\begin{pmatrix}3 & -4\\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix},
e
\det(A)=3\cdot 3 - (-4)\cdot 1 = 9 + 4 = 13 \neq 0.
Como \det(A)\neq0, o sistema é \text{SPD} (possível e determinado) e tem exatamente uma solução.]

Resposta

Classificação: SPD (sistema possível e determinado)
Conjunto solução: \{(3,2)\}

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