Use escalonamento para classificar (quanto a S I, S P D ou S P I ), os sistemas abaixo e apresente o conjunto solução quando existir: \left\{\begin{array}{l}-x-3 y=-7 \\\\ 5 x-2 z=-1 \\\\ -4 y+3 z=-2\end{array}\right.
Pede-se: classificar o sistema entre S I (impossível), S P D (possível determinado — solução única) ou S P I (possível indeterminado — infinitas soluções) e, quando houver solução, apresentar o conjunto solução. Listei todas as equações e as incógnitas x,y,z acima; a resolução seguirá por escalonamento (eliminação de Gauss) para encontrar pivôs e fazer a retro-substituição.]
Passo 2
Transformamos o sistema em matriz aumentada (colunas na ordem x,y,z e a coluna da direita é o termo independente):
Explicação rápida sobre escalonamento: podemos usar operações elementares nas linhas — (i) trocar linhas, (ii) multiplicar uma linha por escalar não nulo, (iii) somar a uma linha um múltiplo de outra — sem alterar o conjunto de soluções. O objetivo é obter uma forma triangular (escalonada) com pivôs (entradas não nulas) que permitam resolver por retro-substituição.]
Passo 3
Primeira operação simples para ter pivot 1 na primeira linha: multiplicar a linha 1 por -1:
y = \dfrac{1680}{53\cdot 15} = \dfrac{1680}{795} = \dfrac{112}{53}
(foi feita uma divisão por 15: 1680/15=112 e 795/15=53).
Passo 9
Finalmente, usamos a primeira linha para x. A primeira linha diz
x - \tfrac{2}{5}z = -\tfrac{1}{5}.
Isolando x:
x = -\tfrac{1}{5} + \tfrac{2}{5}z.
Substituindo z=\dfrac{114}{53}:
x = -\tfrac{1}{5} + \tfrac{2}{5}\cdot \dfrac{114}{53} = -\tfrac{1}{5} + \dfrac{228}{265}.
Colocando em denominador comum 265=5\cdot 53: -\tfrac{1}{5} = -\tfrac{53}{265}. Então
x = \dfrac{-53 + 228}{265} = \dfrac{175}{265} = \dfrac{35}{53}.
Passo 10
Verificações rápidas (substituindo nas três equações) confirmam que \big(\tfrac{35}{53},\tfrac{112}{53},\tfrac{114}{53}\big) resolve o sistema. Como obtivemos um pivô não nulo em cada coluna das incógnitas (três pivôs, uma linha independente para cada incógnita), o posto da matriz dos coeficientes é 3, igual ao número de incógnitas; portanto o sistema tem exatamente uma solução. Conclusão: o sistema é S P D (possível determinado) com a solução encontrada.