Utilize séries conhecidas, convergentes ou divergentes, juntamente com o Teorema ( 11.20 ) ou (11.21) para determinar se a série é convergente ou divergente; no caso de convergência, determine a soma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma série infinita, ou seja, uma soma que vai do até o infinito, e queremos descobrir se essa série converge (ou seja, se ela soma a um valor finito) ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai calcular qual é essa soma. Para isso, vamos usar conceitos de séries conhecidas e aplicar os teoremas que ajudam a determinar a convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a série que a gente tem:
Essa série é a soma de duas partes: e . Cada uma dessas partes é uma série geométrica. Vamos entender o que é uma série geométrica.
Passo 3
Uma série geométrica tem a forma geral:
onde:
é o primeiro termo da série,
é a razão ou fator comum entre os termos.
Essa série converge se o valor absoluto de for menor que 1 () e a soma dela é dada por:
No nosso caso, as séries começam no , então precisamos ajustar a fórmula.
Passo 4
Para séries que começam em , a soma fica:
Isso vai nos ajudar a calcular a soma das duas partes da nossa série original.
Passo 5
Vamos separar a nossa série em duas séries geométricas:
Para cada uma, identificamos e :
Primeira série:
Segunda série:
Passo 6
Agora, vamos verificar se essas duas séries convergem. Segundo a condição das séries geométricas, elas convergem se .
Primeira série:
⇒ Converge
Segunda série:
⇒ Converge
Como as duas séries convergem, a nossa série original também converge.
Passo 7
Agora que sabemos que ambas as séries convergem, vamos calcular a soma de cada uma usando a fórmula:
sumn=1^infty ar^n = ar1 - r
Primeira série:
sumn=1^infty 13^n = 1 cdot 131 - 13 = 1323 = 12
Segunda série:
sumn=1^infty 14^n = 1 cdot 141 - 14 = 1434 = 13
Passo 8
Agora, vamos juntar as somas das duas séries na nossa série original: