Utilize séries conhecidas, convergentes ou divergentes, juntamente com o Teorema ( 11.20 ) ou (11.21) para determinar se a série é convergente ou divergente; no caso de convergência, determine a soma.
sumn=1^infty(13^n-14^n)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma série infinita, ou seja, uma soma que vai do até o infinito, e queremos descobrir se essa série converge (ou seja, se ela soma a um valor finito) ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai calcular qual é essa soma. Para isso, vamos usar conceitos de séries conhecidas e aplicar os teoremas que ajudam a determinar a convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a série que a gente tem:
sumn=1^infty(13^n - 14^n)
Essa série é a soma de duas partes: e . Cada uma dessas partes é uma série geométrica. Vamos entender o que é uma série geométrica.

Passo 3

Uma série geométrica tem a forma geral:
sumn=0^infty ar^n
onde:
  • sumn=0^infty ar^n = a1 - r é o primeiro termo da série,
  • é a razão ou fator comum entre os termos.
Essa série converge se o valor absoluto de for menor que 1 ( ) e a soma dela é dada por:
No nosso caso, as séries começam no , então precisamos ajustar a fórmula.

Passo 4

Para séries que começam em sumn=1^infty ar^n = ar1 - r , a soma fica:
Isso vai nos ajudar a calcular a soma das duas partes da nossa série original.

Passo 5

Vamos separar a nossa série em duas séries geométricas:
sumn=1^infty 13^n e sumn=1^infty 14^n
Para cada uma, identificamos e :
  1. Primeira série:
  2. Segunda série:

Passo 6

Agora, vamos verificar se essas duas séries convergem. Segundo a condição das séries geométricas, elas convergem se .
  1. Primeira série:
    • ⇒ Converge
  2. Segunda série:
    • ⇒ Converge
Como as duas séries convergem, a nossa série original também converge.

Passo 7

Agora que sabemos que ambas as séries convergem, vamos calcular a soma de cada uma usando a fórmula:
sumn=1^infty ar^n = ar1 - r
  1. Primeira série:
    sumn=1^infty 13^n = 1 cdot 131 - 13 = 1323 = 12
  2. Segunda série:
    sumn=1^infty 14^n = 1 cdot 141 - 14 = 1434 = 13

Passo 8

Agora, vamos juntar as somas das duas séries na nossa série original:
sumn=1^infty(13^n - 14^n) = sumn=1^infty 13^n - sumn=1^infty 14^n = 12 - 13

Resposta

A série 12 - 13 = 16 é convergente e a sua soma é:

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