Determine se a série converge ou diverge. Se convergir, encontre a sua soma.
sumn=1^infty 2^-n 3^n-1

Passo 1

Temos a série sumn=1^infty2^-n3^n-1. O conteúdo aqui é série geométrica, cuja convergência depende do valor da razão r satisfazer |r|<1.

Passo 2

Vamos reescrever o termo geral em forma de potência comum: primeiro note que 2^-n=(tfrac12)^n e 3^n-1=tfrac3^n3. Logo
2^-n3^n-1=13,3^n2^n=13l(32r)^n

Passo 3

Podemos então escrever a série como
sumn=1^infty2^-n3^n-1=13sumn=1^inftyl(32r)^n

Passo 4

Aqui temos uma série geométrica de primeiro termo a1=tfrac13(tfrac32)^1=tfrac12 e razão r=tfrac32. Para séries geométricas, a condição de convergência é |r|<1.

Passo 5

Como |r|=tfrac32>1, a série não satisfaz a condição de convergência de uma série geométrica. Portanto a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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