Questão 26: Seja
o conjunto de todos os pares ordenados de números reais. Definamos a adição e a multiplicação por escalar em
por
Passo 1
O enunciado define
com as operações
Queremos verificar se
é um espaço vetorial sobre
, ou seja, se satisfaz os axiomas de grupo abeliano em
e os axiomas de compatibilidade do produto escalar
.
Passo 2
Verificamos que
é um grupo abeliano:
- Fechamento: para quaisquer
, . - Associatividade:
pela soma usual. - Comutatividade:
. - Neutro:
satisfaz . - Inverso: para
, temos e .
Passo 3
Checamos os axiomas envolvendo
:
- Identidade escalar:
- Associatividade escalar:
- Distributividade sobre soma de vetores:
logo elas coincidem.
Passo 4
Agora a distributividade sobre soma de escalares:
enquanto
Como em geral
, tem-se