Questão 26: Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais. Definamos a adição e a multiplicação por escalar em V por
(x1, x2) oplus(y1, y2)=(x1+y1, x2+y2) alpha odot(x1, x2)=(alpha x1, x2)

Passo 1

O enunciado define V = R^2 com as operações
(x1,x2)oplus(y1,y2) = (x1+y1,;x2+y2),
alphaodot(x1,x2) = (alpha x1,;x2)
Queremos verificar se V é um espaço vetorial sobre R, ou seja, se satisfaz os axiomas de grupo abeliano em oplus e os axiomas de compatibilidade do produto escalar odot.

Passo 2

Verificamos que ( V,oplus) é um grupo abeliano:
  • Fechamento: para quaisquer u,vin V, uoplus vin V.
  • Associatividade: (uoplus v)oplus w = uoplus(voplus w) pela soma usual.
  • Comutatividade: uoplus v = voplus u.
  • Neutro: (0,0) satisfaz uoplus(0,0)=u.
  • Inverso: para u=(x1,x2), temos -u=(-x1,-x2) e uoplus(-u)=(0,0).

Passo 3

Checamos os axiomas envolvendo odot:
  1. Identidade escalar:
1odot(x1,x2) = (1cdot x1,;x2) = (x1,x2)
  1. Associatividade escalar:
alphaodot(betaodot(x1,x2)) = alphaodot(beta x1,;x2) = (alphabeta x1,;x2) = (alphabeta)odot(x1,x2)
  1. Distributividade sobre soma de vetores:
alphaodotl((x1,x2)oplus(y1,y2)r) = alphaodot(x1+y1,;x2+y2) = (alpha(x1+y1),;x2+y2),
(alphaodot(x1,x2))oplus(alphaodot(y1,y2)) = (alpha x1,;x2)oplus(alpha y1,;y2) = (alpha x1+alpha y1,;x2+y2),
logo elas coincidem.

Passo 4

Agora a distributividade sobre soma de escalares:
(alpha+beta)odot(x1,x2) = ((alpha+beta)x1,;x2),
enquanto
(alphaodot(x1,x2))oplus(betaodot(x1,x2)) = (alpha x1,;x2)oplus(beta x1,;x2) = (alpha x1+beta x1,;x2+x2) = ((alpha+beta)x1,;2x2)
Como em geral x2neq0, tem-se
(alpha+beta)odot(x1,x2)neq(alphaodot(x1,x2))oplus(betaodot(x1,x2))

Resposta

V não é um espaço vetorial sobre R, pois falha o axioma de distributividade do produto escalar em relação à soma de escalares.

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