1. Use o Exercício 22 para encontrar o centroide da região triangular de vértices (0,0),(a, 0) e (a, b), onde a>0 e b>0.

Passo 1

O enunciado pede o centroide (\bar x,\bar y) da região triangular com vértices (0,0), (a,0) e (a,b), onde a>0 e b>0. O conteúdo é cálculo de centroides por integrais duplas, usando as fórmulas do Exercício 22:
\bar x = \frac{1}{A}\iint_{R} x\,dA, \quad \bar y = \frac{1}{A}\iint_{R} y\,dA.

Passo 2

Precisamos descrever a região R em coordenadas cartesianas. A reta que liga (0,0) a (a,b) tem equação
y = \frac{b}{a}\,x.
Como o triângulo fica acima do eixo x e a base vai de x=0 a x=a, temos
R = \{(x,y)\mid 0 \le x \le a,\;0 \le y \le \tfrac{b}{a}x\}.

Passo 3

Calculamos primeiro a área A do triângulo por fórmula clássica:
A = \frac{1}{2}\times (\text{base}=a)\times (\text{altura}=b) = \frac{ab}{2}.

Passo 4

Agora o momento em x:
\iint_{R} x\,dA = \int_{x=0}^{a}\!\Bigl[\int_{y=0}^{\frac{b}{a}x}x\,dy\Bigr]dx = \int_{0}^{a} x\Bigl(\frac{b}{a}x\Bigr)\,dx = \frac{b}{a}\int_{0}^{a}x^{2}\,dx = \frac{b}{a}\cdot\frac{a^{3}}{3} = \frac{ba^{2}}{3}.
Logo
\bar x = \frac{\frac{ba^{2}}{3}}{\frac{ab}{2}} = \frac{2a}{3}.

Passo 5

Em seguida o momento em y:
\iint_{R} y\,dA = \int_{0}^{a}\!\Bigl[\int_{0}^{\frac{b}{a}x}y\,dy\Bigr]dx = \int_{0}^{a}\frac{1}{2}\Bigl(\frac{b}{a}x\Bigr)^{2}dx = \frac{b^{2}}{2a^{2}}\int_{0}^{a}x^{2}\,dx = \frac{b^{2}}{2a^{2}}\cdot\frac{a^{3}}{3} = \frac{b^{2}a}{6}.
Daí
\bar y = \frac{\frac{b^{2}a}{6}}{\frac{ab}{2}} = \frac{b}{3}.

Resposta

O centroide da região triangular é
\bigl(\bar x,\bar y\bigr) =\Bigl(\tfrac{2a}{3},\,\tfrac{b}{3}\Bigr).

Exercícios relacionados