Use o exercício anterior para calcular a derivada de cada uma das funções abaixo:
y=x^{x}, para todo x>0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função y=x^{x} para todo x>0.
Informações dadas:
  • A função é y=x^{x}.
  • O domínio considerado é x>0 (isso garante que \ln x está bem definida).
  • A tarefa: encontrar y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Por que não é trivial aplicar diretamente regra de potência ou regra de exponencial? Porque tanto a base quanto o expoente dependem de x. Para funções onde a variável aparece na base e no expoente ao mesmo tempo, a técnica prática é a diferenciação por logaritmo (log-diferenciação): tomamos o logaritmo natural em ambos os lados para transformar potências em produtos, o que facilita a diferenciação. Vou explicar a propriedade de logaritmo que vamos usar.
Propriedade usada:
\ln(a^b)=b\ln a,
válida para a>0. Aqui a=x e b=x, então podemos aplicar porque estamos em x>0.

Passo 3

Aplicamos \ln aos dois lados da igualdade y=x^{x}. Isso nos dá:
\ln y = \ln\bigl(x^{x}\bigr).
Pela propriedade do logaritmo:
\ln y = x\ln x.
Expliquei: do lado esquerdo \ln y é o logaritmo da função incógnita y(x); do direito usamos \ln(x^x)=x\ln x.

Passo 4

Agora diferenciamos ambos os lados em relação a x. À esquerda usamos diferenciação implícita (cadeia): a derivada de \ln y é \dfrac{1}{y}\,y', pois se y=y(x) então
\frac{d}{dx}\bigl(\ln y\bigr)=\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}.
À direita temos um produto x\ln x. Vou lembrar a regra do produto e a derivada de \ln x:
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) então \dfrac{d}{dx}(u v)=u'v+uv'.
  • Derivada do logaritmo: \dfrac{d}{dx}(\ln x)=\dfrac{1}{x} para x>0.
Aplicando isso ao lado direito x\ln x, com u=x (então u'=1) e v=\ln x (então v'=1/x), obtemos:
\frac{d}{dx}\bigl(x\ln x\bigr)=1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x}=\ln x + 1.

Passo 5

Juntando as derivações da etapa anterior, temos:
\frac{1}{y}\,y'=\ln x + 1.
Agora isolamos y' multiplicando ambos os lados por y:
y' = y\bigl(\ln x + 1\bigr).
Lembre que y=x^{x}, então substituímos de volta.

Passo 6

Substituindo y=x^{x} em y' = y(\ln x + 1) obtemos a forma final da derivada:
y' = x^{x}\bigl(\ln x + 1\bigr).
Interpretação: a derivada de x^{x} é o próprio x^{x} multiplicado por \ln x + 1. Isso faz sentido: para x^a com a constante a derivada tem uma forma diferente; aqui o termo \ln x aparece porque o expoente depende de x.
Exemplo numérico rápido (para prática): se x=2, então
y=2^{2}=4,\qquad y'=2^{2}\bigl(\ln 2 + 1\bigr)=4\bigl(\ln 2 + 1\bigr).

Resposta

y'=x^{x}\bigl(\ln x + 1\bigr)

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