Use o exercício anterior para calcular a derivada de cada uma das funções abaixo:
, para todo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
para todo
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - O domínio considerado é
(isso garante que está bem definida). - A tarefa: encontrar
.
Passo 2
Por que não é trivial aplicar diretamente regra de potência ou regra de exponencial? Porque tanto a base quanto o expoente dependem de
. Para funções onde a variável aparece na base e no expoente ao mesmo tempo, a técnica prática é a diferenciação por logaritmo (log-diferenciação): tomamos o logaritmo natural em ambos os lados para transformar potências em produtos, o que facilita a diferenciação. Vou explicar a propriedade de logaritmo que vamos usar.
Propriedade usada:
válida para
. Aqui
e
, então podemos aplicar porque estamos em
.
Passo 3
Aplicamos
aos dois lados da igualdade
. Isso nos dá:
Pela propriedade do logaritmo:
Expliquei: do lado esquerdo
é o logaritmo da função incógnita
; do direito usamos
.
Passo 4
Agora diferenciamos ambos os lados em relação a
. À esquerda usamos diferenciação implícita (cadeia): a derivada de
é
, pois se
então
À direita temos um produto
. Vou lembrar a regra do produto e a derivada de
:
- Regra do produto: se
e então . - Derivada do logaritmo:
para .
Aplicando isso ao lado direito
, com
(então
) e
(então
), obtemos:
Passo 5
Juntando as derivações da etapa anterior, temos:
Agora isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Lembre que
, então substituímos de volta.
Passo 6
Substituindo
em
obtemos a forma final da derivada:
Interpretação: a derivada de
é o próprio
multiplicado por
. Isso faz sentido: para
com
constante a derivada tem uma forma diferente; aqui o termo
aparece porque o expoente depende de
.
Exemplo numérico rápido (para prática): se
, então