\mathbf{F}(x, y, z)=x^{4} \mathbf{i}-x^{3} z^{2} \mathbf{j}+4 x y^{2} z \mathbf{k}, S é a superfície do sólido limitado pelo cilindro
x^{2}+y^{2}=1 e os planos z=x+2 e z=0

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=x^{4}\,\mathbf{i}-x^{3}z^{2}\,\mathbf{j}+4xyz^{2}\,\mathbf{k}
e pede o fluxo de \mathbf{F} através da superfície fechada S que envolve o sólido V limitado pelo cilindro x^{2}+y^{2}=1 e pelos planos z=0 e z=x+2.
Conteúdo: Teorema da divergência. Vamos usar
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} \;=\;\iiint_{V}\nabla\!\cdot\mathbf{F}\,dV.

Passo 2

Calculamos a divergência de \mathbf{F}:
\nabla\!\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(x^{4}) +\frac{\partial}{\partial y}(-x^{3}z^{2}) +\frac{\partial}{\partial z}(4xy^{2}z).
Como \partial_y(-x^3z^2)=0 e \partial_z(4xy^2z)=4xy^2, obtemos
\nabla\!\cdot\mathbf{F}=4x^{3}+4xy^{2} =4x\,(x^{2}+y^{2}).

Passo 3

Usamos coordenadas cilíndricas:
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad 0\le r\le1,\quad0\le\theta\le2\pi,
e z vai de 0 até x+2=r\cos\theta+2. O elemento de volume é dV=r\,dr\,d\theta\,dz. Então
\nabla\!\cdot\mathbf{F} =4x\,(x^2+y^2) =4(r\cos\theta)\,r^2 =4r^3\cos\theta.
O fluxo será
\iiint_{V}4r^3\cos\theta\,r\,dr\,d\theta\,dz =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{2+r\cos\theta} 4r^4\cos\theta \,dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Integramos em z primeiro:
\int_{0}^{2+r\cos\theta}dz =2+r\cos\theta,
então o integral vira
\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1} 4r^4\cos\theta\,(2+r\cos\theta)\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1} \bigl(8r^4\cos\theta+4r^5\cos^2\theta\bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 5

Integramos em r:
\int_{0}^{1}8r^4\,dr= \frac{8}{5}, \qquad \int_{0}^{1}4r^5\,dr=\frac{2}{3}.
Logo
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =\int_{0}^{2\pi}\Bigl(\tfrac{8}{5}\cos\theta+\tfrac{2}{3}\cos^2\theta\Bigr)\,d\theta.
Mas \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0 e \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta=\pi.

Passo 6

Substituindo esses valores, obtemos
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =\frac{8}{5}\cdot0+\frac{2}{3}\,\pi =\frac{2\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{2\pi}{3}

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