1.7 Use os exercícios anteriores para encontrar a solução geral das seguintes equações:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral de três equações diferenciais de Euler–Cauchy, que têm a forma
O método chave é usar o ansatz
, reduzir a EDO a uma equação algébrica em
(a chamada equação característica ou indicial) e, a partir das raízes
, construir a solução geral.
Passo 2
Substituindo
em
temos
,
. Logo
é a equação característica.
Passo 3
Para
temos
,
. A equação característica é
as raízes são
e
. Portanto
Passo 4
Para
temos
,
. A equação característica é
raiz dupla
. Na raiz dupla a solução geral é
Passo 5
Para
temos
,
. A equação característica é
Com raízes complexas
, a solução geral fica
Resposta
Para
:
Para
:
Para
: