1.7 Use os exercícios anteriores para encontrar a solução geral das seguintes equações:

Passo 1

O enunciado pede a solução geral de três equações diferenciais de Euler–Cauchy, que têm a forma
x^2y'' + a,x,y' + b,y = 0
O método chave é usar o ansatz y = x^m, reduzir a EDO a uma equação algébrica em m (a chamada equação característica ou indicial) e, a partir das raízes m, construir a solução geral.

Passo 2

Substituindo y = x^m em
x^2y'' + a,x,y' + b,y = 0
temos y' = m,x^m-1, y'' = m(m-1)x^m-2. Logo
x^2l[m(m-1)x^m-2r] + a,xl[m,x^m-1r] + b,x^m=0 ;Longrightarrow; m(m-1) + a,m + b = 0
é a equação característica.

Passo 3

Para
x^2y'' + 4x,y' + 2y = 0
temos a=4, b=2. A equação característica é
m(m-1) + 4m + 2 = 0 ;Longrightarrow; m^2 +3m +2 = 0 ;Longrightarrow; (m+1)(m+2)=0
as raízes são m=-1 e m=-2. Portanto
y = C1,x^-1 + C2,x^-2

Passo 4

Para
x^2y'' - 3x,y' + 4y = 0
temos a=-3, b=4. A equação característica é
m(m-1) -3m +4 = 0 ;Longrightarrow; m^2 -4m +4 = 0 ;Longrightarrow; (m-2)^2=0
raiz dupla m=2. Na raiz dupla a solução geral é
y = C1,x^2 + C2,x^2ln(x)

Passo 5

Para
x^2y'' + 3x,y' + 5y = 0
temos a=3, b=5. A equação característica é
m(m-1) +3m +5 = 0 ;Longrightarrow; m^2 +2m +5 = 0 ;Longrightarrow; m = -2pmraiz4-202 = -1 pm 2,i
Com raízes complexas m=-1pm2i, a solução geral fica
y = x^-1l(C1cosl(2ln xr) + C2sinl(2ln xr)r)

Resposta

Para x^2y''+4xy'+2y=0:
y = C1,x^-1 + C2,x^-2
Para x^2y''-3xy'+4y=0:
y = C1,x^2 + C2,x^2ln(x)
Para x^2y''+3xy'+5y=0:
y = x^-1l(C1cos(2ln x) + C2sin(2ln x)r)

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