Em determinada região do espaço, o potencial é dado por V=A+B x+C y^{3}+D x y, em que A, B, C e D são constantes positivas. Qual das seguintes afirmações sobre o campo elétrico \vec{E} nessa regiāo do espaço está correta? (Pode haver mais de uma resposta correta.) (i) Aumentar o valor de A aumentara o valor de \vec{E} em todos os pontos. (ii) Aumentar o valor de A diminuirá o valor de \vec{E} em todos os pon tos. (iii) \vec{E} näo possui componentes z; (iv) o campo elétrico é igual a zero na origem ( x=0, y=0, z=0 ).

Passo 1

O enunciado dá o potencial elétrico na região como
V = A + B x + C y^{3} + D x y,
onde A, B, C, D são constantes positivas.
O enunciado pergunta quais das afirmações abaixo sobre o campo elétrico \vec{E} nessa região são corretas:
(i) Aumentar o valor de A aumentará o valor de \vec{E} em todos os pontos.
(ii) Aumentar o valor de A diminuirá o valor de \vec{E} em todos os pontos.
(iii) \vec{E} não possui componente z.
(iv) O campo elétrico é igual a zero na origem (x=0,y=0,z=0).

Passo 2

Conceito-chave que usamos: o campo elétrico é o gradiente negativo do potencial. Isto é uma relação padrão e muito útil. Escrevemos isso assim:
\vec{E} = -\nabla V.
Explicando com calma: \nabla V é o vetor formado pelas derivadas parciais de V em relação às coordenadas x,y,z. O sinal negativo indica que o campo elétrico aponta na direção de decrescimento mais rápido do potencial.

Passo 3

Escrevendo explicitamente a forma do gradiente e do campo:
\vec{E} = -\left(\frac{\partial V}{\partial x}\,\hat{\imath} + \frac{\partial V}{\partial y}\,\hat{\jmath} + \frac{\partial V}{\partial z}\,\hat{k}\right).
Agora vamos calcular as derivadas parciais de V. Como V = A + Bx + Cy^{3} + Dxy, cada termo trata-se assim:
  • A é constante (não depende de x,y,z);
  • Bx depende só de x;
  • Cy^{3} depende só de y;
  • Dxy depende de x e y.
Cálculo das parciais:
\frac{\partial V}{\partial x} = B + D y,
\frac{\partial V}{\partial y} = 3 C y^{2} + D x,
\frac{\partial V}{\partial z} = 0,
porque não há nenhum termo em z no potencial.

Passo 4

Substituindo na relação \vec{E} = -\nabla V, obtemos as componentes do campo elétrico:
\vec{E} = -(B + D y)\,\hat{\imath} - (3 C y^{2} + D x)\,\hat{\jmath} - 0\,\hat{k}.
Ou escrevendo de forma limpa:
E_{x} = -(B + D y),\qquad E_{y} = -(3 C y^{2} + D x),\qquad E_{z} = 0.

Passo 5

Agora respondemos, item por item, usando os resultados acima e explicando por quê:
Sobre (i) e (ii) (efeito de mudar A):
O termo A é uma constante aditiva no potencial. Derivada de uma constante é zero, ou seja,
\frac{\partial}{\partial x}A = \frac{\partial}{\partial y}A = \frac{\partial}{\partial z}A = 0.
Portanto A não aparece em nenhuma componente de \vec{E}. Conclusão: aumentar A não aumenta nem diminui \vec{E} em nenhum ponto. Logo (i) é falsa e (ii) é falsa.
Sobre (iii) (componente z):
Como vimos, \frac{\partial V}{\partial z}=0 porque V não depende de z. Então E_{z}=0. Conclusão: (iii) é verdadeira.
Sobre (iv) (campo na origem):
Avaliaremos \vec{E} no ponto (x,y,z)=(0,0,0). Usando as fórmulas:
E_{x}(0,0,0)=-(B + D\cdot 0)= -B,
E_{y}(0,0,0)=-(3C\cdot 0^{2} + D\cdot 0)=0,
E_{z}(0,0,0)=0.
Portanto \vec{E}(0,0,0)=(-B,\,0,\,0). Como o enunciado diz que B é positivo, -B\neq 0. Logo o campo não é zero na origem. Conclusão: (iv) é falsa.

Passo 6

Resumo final lógico: apenas a afirmação (iii) é correta; as outras são falsas. Fica a dica amiga: constantes adicionadas ao potencial não alteram o campo elétrico, porque o campo depende das variações espaciais (derivadas) do potencial — não do seu nível absoluto. Força aí nos estudos, você tá indo bem!

Resposta

(i) Falsa
(ii) Falsa
(iii) Verdadeira
(iv) Falsa

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