Em determinada região do espaço, o potencial é dado por
, em que
e
são constantes positivas. Qual das seguintes afirmações sobre o campo elétrico
nessa regiāo do espaço está correta? (Pode haver mais de uma resposta correta.) (i) Aumentar o valor de A aumentara o valor de
em todos os pontos. (ii) Aumentar o valor de
diminuirá o valor de
em todos os pon tos. (iii)
näo possui componentes z; (iv) o campo elétrico é igual a zero na origem (
).
Passo 1
O enunciado dá o potencial elétrico na região como
onde
são constantes positivas.
O enunciado pergunta quais das afirmações abaixo sobre o campo elétrico nessa região são corretas:
(i) Aumentar o valor de aumentará o valor de
em todos os pontos.
(ii) Aumentar o valor de diminuirá o valor de
em todos os pontos.
(iii) não possui componente
.
(iv) O campo elétrico é igual a zero na origem .
O enunciado pergunta quais das afirmações abaixo sobre o campo elétrico
(i) Aumentar o valor de
(ii) Aumentar o valor de
(iii)
(iv) O campo elétrico é igual a zero na origem
Passo 2
Conceito-chave que usamos: o campo elétrico é o gradiente negativo do potencial. Isto é uma relação padrão e muito útil. Escrevemos isso assim:
Explicando com calma:
é o vetor formado pelas derivadas parciais de
em relação às coordenadas
. O sinal negativo indica que o campo elétrico aponta na direção de decrescimento mais rápido do potencial.
Passo 3
Escrevendo explicitamente a forma do gradiente e do campo:
Agora vamos calcular as derivadas parciais de
. Como
, cada termo trata-se assim:
-
é constante (não depende de ); -
depende só de ; -
depende só de ; -
depende de e .
Cálculo das parciais:
porque não há nenhum termo em
no potencial.
Passo 4
Substituindo na relação
, obtemos as componentes do campo elétrico:
Ou escrevendo de forma limpa:
Passo 5
Agora respondemos, item por item, usando os resultados acima e explicando por quê:
Sobre (i) e (ii) (efeito de mudar
):
O termo é uma constante aditiva no potencial. Derivada de uma constante é zero, ou seja,
O termo
Portanto
não aparece em nenhuma componente de
. Conclusão: aumentar
não aumenta nem diminui
em nenhum ponto. Logo (i) é falsa e (ii) é falsa.
Sobre (iii) (componente
):
Como vimos, porque
não depende de
. Então
. Conclusão: (iii) é verdadeira.
Como vimos,
Sobre (iv) (campo na origem):
Avaliaremos no ponto
. Usando as fórmulas:
Avaliaremos
Portanto
. Como o enunciado diz que
é positivo,
. Logo o campo não é zero na origem. Conclusão: (iv) é falsa.
Passo 6
Resumo final lógico: apenas a afirmação (iii) é correta; as outras são falsas. Fica a dica amiga: constantes adicionadas ao potencial não alteram o campo elétrico, porque o campo depende das variações espaciais (derivadas) do potencial — não do seu nível absoluto. Força aí nos estudos, você tá indo bem!
Resposta
(i) Falsa
(ii) Falsa
(iii) Verdadeira
(iv) Falsa
(ii) Falsa
(iii) Verdadeira
(iv) Falsa