Use a transformada de Laplace e expresse a solução dos problemas como uma integral.
y^prime prime+k^2 y=g(t), y(0)=0, y^prime(0)=1;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO y'' + k^2 y = g(t) com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1. O método indicado é usar a transformada de Laplace e, depois, expressar a solução via integral (convolução).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo, usando as propriedades Ly'' = s^2Y(s) - s y(0) - y'(0), Ly = Y(s) e Lg(t) = G(s):
Ly'' + k^2Ly = Lg(t)
que fica
s^2Y(s) - scdot 0 - 1 + k^2Y(s) = G(s)

Passo 3

Isolamos Y(s):
Y(s)(s^2 + k^2) = G(s) + 1
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Y(s) = G(s)s^2 + k^2 + 1s^2 + k^2

Passo 4

Invertendo a transformada de Laplace: sabemos que L^-11/(s^2 + k^2) = (1/k)sin(kt) e que, pela propriedade da convolução,
L^-1G(s)s^2 + k^2 = integral0^t sinl(k(t-tau)r)k,g(tau),dtau

Passo 5

Combinando as duas parcelas temos a solução completa:
y(t) = 1ksin(kt) + 1kintegral0^t sinl(k(t-tau)r),g(tau),dtau

Resposta

y(t) = 1ksin(kt) + 1kintegral0^t sinl(k(t-tau)r),g(tau),dtau.

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