Use um fator integrante se preciso.
Encontre as soluções de
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Passo 1
Aqui a gente tem uma equação diferencial de primeira ordem: 2x cos y − y′ sin y + 2x = 0. O conteúdo é equações diferenciais exatas e fator integrante, e vamos precisar reconhecer a forma M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 e possivelmente usar um fator integrante.
Passo 2
Reescrevendo com y′=dy/dx e agrupando termos em dx e dy, obtemos
Assim identificamos
Passo 3
Para ver se é exata, calculamos
Como não são iguais, não é exata. Buscamos um fator integrante μ(x) que dependa só de x. Usamos
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Passo 4
Multiplicamos a equação original por μ(x)=e{x2} e obtemos a forma exata:
Agora
e
confirmando que ficou exata.
Passo 5
Procuramos uma função potencial ψ(x,y) tal que ψ_x=2x(\cos y+1)e{x2}. Fazendo a integral em x:
Depois exigimos ψ_y=−\sin y e{x2}+h’(y) igual a N* = −\sin y e{x2}, o que dá h’(y)=0. Logo a solução geral implícita é
Resposta
(\cos y+1)e{x2}=C