Use um fator integrante se preciso.
Encontre as soluções de
2 x cos y-y^prime sen y+2 x=0

Passo 1

Aqui a gente tem uma equação diferencial de primeira ordem: 2x cos y − y′ sin y + 2x = 0. O conteúdo é equações diferenciais exatas e fator integrante, e vamos precisar reconhecer a forma M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 e possivelmente usar um fator integrante.

Passo 2

Reescrevendo com y′=dy/dx e agrupando termos em dx e dy, obtemos
2x(cos y+1),dx - sin y,dy = 0
Assim identificamos
M(x,y)=2x(cos y+1),
N(x,y)=-sin y

Passo 3

Para ver se é exata, calculamos
partial Mpartial y = -2xsin y,
partial Npartial x = 0
Como não são iguais, não é exata. Buscamos um fator integrante μ(x) que dependa só de x. Usamos
partial M/partial y - partial N/partial xN = -2xsin y-sin y = 2x,
logo
mu(x)=e^integral 2x,dx=e^x^2

Passo 4

Multiplicamos a equação original por μ(x)=e{x2} e obtemos a forma exata:
2x(cos y+1)e^x^2,dx - sin y,e^x^2,dy = 0
Agora
partial partial yl[2x(cos y+1)e^x^2r] = -2xsin y,e^x^2
e
partial partial xl[-sin y,e^x^2r] = -2xsin y,e^x^2,
confirmando que ficou exata.

Passo 5

Procuramos uma função potencial ψ(x,y) tal que ψ_x=2x(\cos y+1)e{x2}. Fazendo a integral em x:
ψ(x,y)=integral 2x(cos y+1)e^x^2dx=(cos y+1)e^x^2+h(y)
Depois exigimos ψ_y=−\sin y e{x2}+h’(y) igual a N* = −\sin y e{x2}, o que dá h’(y)=0. Logo a solução geral implícita é
(cos y+1)e^x^2=C

Resposta

(\cos y+1)e{x2}=C

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